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Consideriamo un triangolo ABC, H ortocentro, O circocentro. Sia H' il punto medio tra A e H; O' un punto tale che il punto medio di O e O' è A. Sia T l'intersezione tra BC e la tangente in A rispetto alla circoscritta.
Mostrare che A, O', H' e T sono conciclici.

Che problema strano...

Sia $M$ il punto medio di $BC$, sia $P$ il simmetrico di $H$ rispetto a $M$ e sia $Q$ il simmetrico di $O$ rispetto a $M$. Sia $R$ il raggio della circoscritta.

Sia $K$ la proiezione di $O'$ su $BC$, da cui $T \hat K O'=90$. Per la tangenza $T \hat A O=90$, e dunque $T \hat A O'=90$. Allora il quadrilatero $TKAO'$ è ciclico.

Poiché $O'K$ e $OM$ sono simmetriche e parallele rispetto ad $AH'$ e perpendicolari a $BC$, $KH'=H'M$. Per simmetria in $M$, $HQ=OP=R$. Perciò $H'M=R$, essendo $H'M$ il segmento che biseca $AH$ e $OQ$, dato che $AO=HQ=R$, $AH$ è parallelo a $OQ$ e $AO=OP$ è parallelo $HQ$ (per la simmetria in $M$). Allora $KH'=H'M=AO=AO'$.

Ma $O'AH'K$ è un trapezio isoscele ($KH'=AO'$), quindi è ciclico. Ma allora se anche $TKAO'$ è ciclico è ciclico pure il quadrilatero $TAO'H'$.


Per i più intrepiditi, in complessi sono molti pochi conti, se uno si scrive l'ortocentro in modo sensato...

Mi vengono più comodi i conti con i vettori...
Allora, origine in $O$ (ma dai?), quindi $H=A+B+C$.
Poi scriviamo $T=\lambda B+\mu C$ con $\lambda+\mu=1$ e imponiamo la tangenza: $(T-A)\cdot (A-O)=0$, da cui $\lambda A\cdot B+\mu A\cdot C-A^2=0$ e moltiplicando per 2 e con le solite relazioni abbiamo $\lambda(2R^2-c^2)+\mu(2R^2-b^2)-2R^2=0$, da cui $\lambda c^2+\mu b^2=0$ (boh si faceva anche in baricentriche, ma con i vettori puri non è male)
Infine $O'=2A$ e $H'=\dfrac{2A+B+C}2$

Ora, $O'T$ è diametro di $\odot(O'AT)$ per perpendicolarità della tangente, quindi ci resta da dimostrare che $(H'-O')\cdot(H'-T)=0$.
Bon, un po' di conticini: moltiplichiamo per 4 e scriviamo in funzione di $A,B,C$; abbiamo $(2A+B+C-4A)(2A+B+C-2\lambda B-2\mu C)=(-2A+B+C)(2A+B(1-2\lambda)+C(1-2\mu))$ con tanta pazienza espandiamo: $-4A^2+B^2(1-2\lambda)+C^2(1-2\mu)+AB(-2+4\lambda+2)+AC(-2+4\mu+2)+BC(1-2\mu+1-2\lambda)$ e ora abbiamo finito raccogliendo intelligentemente: $$-4R^2+R^2(2-2(\lambda+\mu))+4R^2(\lambda+\mu)-2\lambda c^2-2\mu b^2+BC(2-2(\lambda+\mu))$$
che usando le relazioni di sopra viene proprio 0...