Angoli a caso
Inviato: 10 nov 2014, 18:21
Sia $ABC$ un triangolo di circoscritta $\omega$, sia $d$ la simmediana uscente da $A$ e sia $D=d \cap \omega$. Sia $K$ il simmetrico di $B$ rispetto a $D$. Dimostrare che $A \hat C B=D \hat C K$.
L'eleganza dei complessi mi fa restare sempre più spesso a bocca aperta.
Sia T il punto di intersezione tra la tangente di B e di C e M punto medio.
O dicendo che TB è perpendicolare a OB e TC perpendicolare a OC oppure ricordando che T è l'inverso di M rispetto a $\omega$ si ricava che $t=\displaystyle \frac{2bc}{b+c}$. Ora A, D e T sono allineati e $d\bar{d}=1$.
Facendo il conto si trova $\displaystyle d=\frac{ab+ac-2bc}{2a-b-c}$. Per K basta notare che $k=2d-b$
Ora $\angle ACB = \angle DCK$ se e solo se $$\frac{a-c}{b-c}=\frac{d-c}{k-c}$$ e sostituendo tutto viene un'identità.
Qualcuno in sintetica?