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Trovare tutte le terne di reali positivi $a,b,c,\geq 1$ tali che valga la seguente relazione:
$ \frac{log_ab}{a+b} + \frac{log_bc}{b+c}+\frac{log_ca}{c+a}=\frac{9}{2(a+b+c)} $

Può essere....?!?

Posto $\left( lo{{g}_{a}}b \right)=u;\left( lo{{g}_{b}}c \right)=v;\left( lo{{g}_{c}}a \right)=w$, per formula cambiamento base logaritmi si ha:

$u\cdot v\cdot w=\left( lo{{g}_{a}}b \right)\left( lo{{g}_{b}}c \right)\left( lo{{g}_{c}}a \right)=\left( lo{{g}_{a}}c \right)\left( lo{{g}_{c}}b \right)\left( lo{{g}_{b}}c \right)\left( lo{{g}_{c}}a \right)=1$.

Per Cauchy-Schwarz e AM-GM si ha:
$\left[ \left( a+b \right)+\left( b+c \right)+\left( c+a \right) \right]\cdot \left[ u/\left( a+b \right)+v/\left( b+c \right)+w/\left( c+a \right) \right]\ge {{\left( \sqrt {u}+\sqrt{v}+\sqrt{w}\right)}^{2}}\ge 9$.

E uguaglianze sse $a=b=c\ge 1.$

Giusta

Solo un dubbio:
Per Cauchy Schwarz non si dovrebbe avere $ LHS \geq ( \sqrt{u} + \sqrt{v} + \sqrt{w} )^2 $ ? poi si conclude ugualmente..

@ karlosson..meno male
@LucaMac.. ..si scusatemi..distrazione mia..controedito