Disuguaglianza coi moduli
Inviato: 15 nov 2014, 18:10
Siano $ a,b,p \in \mathbb {R} $, con $ p\geq 1 $, allora vale:
$ |a+b|^p\leq 2^{p-1} (|a|^p+|b|^p) $
$ |a+b|^p\leq 2^{p-1} (|a|^p+|b|^p) $
Sia $f(x)=|x|^p$; $f=g\circ h$, dove $h(x)=|x|$ e $g(x)=x^p$. $h$ e $g$ sono convesse, e in più $g$ è non decrescente per $p\ge 1$, pertanto anche $f$ è convessa.
Applicando la disuguaglianza di convessità a $f$, la tesi segue immediatamente:
$$
f\left(\frac{a+b}{2}\right)\le\frac{1}{2}(f(a)+f(b)) \implies \left(\frac{|a+b|}{2}\right)^p\le \frac{1}{2}(|a|^p+|b|^p) \implies |a+b|^p \le 2^{p-1}(|a|^p+|b|^p)
$$