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Il probema rettangoli amici!! postato in TDN da simone256 mi ha riportato alla mente questo problemino simpatico che ho fatto quest'estate.

Diciamo che un parallelepipedo rettangolo è nostro amico!! se il suo volume, la sua superficie e il suo perimetro (ovvero la somma delle lunghezze dei $12$ spigoli) sono numericamente uguali (per prevenire le giuste proteste di qualcuno, calcoliamo le lunghezze in drachi, le superfici in cottingeri e i volumi in dracottingeri, tutte unità di misura che sottolineano la manifestazione della stessa malvagità e sono quindi confrontabili). Dimostrare che nessuno parallelepipedo è veramente nostro amico!!.

NB: attenzione che siamo in Algebra, quindi a differenza del problema a cui questo si ispira, il valore che misuriamo per lunghezze, superfici o volumi non è necessariamente intero, ma può essere un qualsiasi reale positivo.

$abc=2(ab+bc+ac)=4(a+b+c)$
WLOG $a \geq b \geq c$ quindi $bc \leq 12$ e $c \leq 6$ e $ab \geq 12$ e $a \geq 6$.
Moltiplicando prima e quarta si ha $bc \leq 2a$ , invece da seconda e terza $ab \geq 2c$
Ora, visto che $ ab+bc+ac=2(a+b+c)$ (e $ab \geq 2c $) si ha che $ c \leq 2$ quindi, visto che $abc=2(ab+bc+ac)$ si ha $bc+ac \leq 0$ che è assurdo!

p.s. sei sicuro le unità di misura siano confrontabili?

Bene

(al P.S. rispondo con un categorico "certo che sì!")