Fibonacci facile
Inviato: 19 nov 2014, 19:19
Sia $1,1,2,3,\cdots$ la successione dei Fibonacci. Determinare la somma di tutti i $k$ tali che il $k$-esimo Fibonacci è $k^2$.
Testo nascosto:
Dimostriamo per induzione che i Fibonacci maggiori di $F_{12}$ sono troppo ENORMI perché ci possa essere l'uguaglianza.
Caso base: Osservo prima di tutto che $F_{13}=233>169= 13^2$ e $F_{14}=377>196=14^2$.
Passo induttivo: $$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n>(n+1)^2+n^2>(n+1)^2+(2n+3)=(n+2)^2\ \ \Rightarrow\ \ F_{n+2}>(n+2)^2$$
Dove la disequazione di secondo grado intermedia $n^2>2n+3$ è sicuramente verificata per $n\geq 4$ (lo studio completo si fa a scuola e mi permetterai di saltarlo, spero) e quindi anche per tutti gli $n$ maggiori di $12$ che stiamo trattando nel nostro lemmino.
Dunque le soluzioni vanno cercate fra i $12$ numeri di Fibonacci più piccoli di $F_{13}$, che si provano a mano. Le soluzioni sono solamente $F_1=1=1^2$ e $F_{12}=144=12^2$, da cui la risposta dovrebbe essere $12+1=13$.
Caso base: Osservo prima di tutto che $F_{13}=233>169= 13^2$ e $F_{14}=377>196=14^2$.
Passo induttivo: $$F_{n+2}=F_{n+1}+F_n>(n+1)^2+n^2>(n+1)^2+(2n+3)=(n+2)^2\ \ \Rightarrow\ \ F_{n+2}>(n+2)^2$$
Dove la disequazione di secondo grado intermedia $n^2>2n+3$ è sicuramente verificata per $n\geq 4$ (lo studio completo si fa a scuola e mi permetterai di saltarlo, spero) e quindi anche per tutti gli $n$ maggiori di $12$ che stiamo trattando nel nostro lemmino.
Dunque le soluzioni vanno cercate fra i $12$ numeri di Fibonacci più piccoli di $F_{13}$, che si provano a mano. Le soluzioni sono solamente $F_1=1=1^2$ e $F_{12}=144=12^2$, da cui la risposta dovrebbe essere $12+1=13$.
