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Sulle schede olimpiche la disuguaglianza di Holder viene definita come:
$ \left( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i |a_ib_i|^r\right)^{\frac{1}{r}} \leq \left( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i |a_i|^p\right)^{\frac{1}{p}}\left( \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i |b_i|^q\right)^{\frac{1}{q}} $
Con le condizioni $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=\frac{1}{r}$, $\forall i \; a_i\in \mathbb{R}$ e $\forall i \; \lambda_i\in \mathbb{R_0^+}$.
Invece in luoghi anglofoni (leggasi su aops) ho spesso visto che con disuguaglianza di Holder venisse inteso:
$ \left( \sum\limits_{i=1}^n \prod\limits_{j=1}^ka_{i,j} \right)^k\leq \prod\limits_{j=1}^k \left( \sum\limits_{i=1}^n a_{i,j}^k\right) $
Che è una sorta di Cauchy-Schwarz in più n-uple.
"Andando ad occhio" direi che si possa dimostrare la seconda dalla prima facendo catene di disuguaglianze in questo modo (oppure c'è un modo con la normalizzazione delle somme fatto vedere al senior 2013). In gara, posso utilizzare entrambe le disuguaglianze senza dimostrazione? Se si, la seconda disuguaglianza come la dovrei chiamare?

Puoi usare entrambe. "Hölder" va bene, se no anche "Hölder generalizzata". Al solito, è più importante specificare come e su cosa la usi che non come la chiami. In generale, vale
$$
\left( \sum\limits_{i=1}^n \prod\limits_{j=1}^ka_{i,j}^r \right)^{1/r}\leq \prod\limits_{j=1}^k \left( \sum\limits_{i=1}^n a_{i,j}^{p_j}\right)^{1/p_j}
$$
quando $\sum_{j=1}^k \frac{1}{p_j}=\frac{1}{r}$ ($p_i$ e $r$ devono essere $\geq 1$), che le generalizza entrambe. Il modo umano di ricordarsela è chiamando $\|a\|_q=\left(\sum_i a_i^q\right)^{1/q}$, "norma $q$-esima", cosicché diventa
$$
\|a_1a_2\dots a_k\|_r \leq \|a_1\|_{p_1}\|a_2\|_{p_2}\dots\|a_k\|_{p_k}.
$$
con lo stesso vincolo di sopra.

Chiaro, grazie tante

fph ha scritto:$p_i$ e $r$ devono essere $\geq 1$

Non sapevo di questa condizione... è necessaria anche nei "casi particolari" ?

karlosson_sul_tetto ha scritto:Chiaro, grazie tante

fph ha scritto:$p_i$ e $r$ devono essere $\geq 1$

Non sapevo di questa condizione... è necessaria anche nei "casi particolari" ?

Uhm, no, hai ragione tu, in effetti funziona tutto uguale anche senza. Il motivo per cui mi è venuto da metterla è che quelle "norme" sono degli oggetti abbastanza strani per $p<1$ e non soddisfano le proprietà che uno si aspetta (tipo la disuguaglianza triangolare). Ma Hölder funziona lo stesso; basta elevare tutto alla $r$ e ricondursi a quella con $r=1$. Rimpiazzalo pure con $p_i>0$.