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Propongo un problemino in una versione semplice.
Quante collane diverse da 7 perle avendo a DISPOZIONE due tipi perle bianche e per nere, considerando uguali le collane che si ottengono per rotazione nel piano da una stessa collana (le collane posso essere anche solo di perle bianche o perle nere)
Questo primo problema è abbastanza noto, e prevede la soluzione $(2^7-2)/7 +2$. In quanto togliendo dalla possibili disposizioni con ripetizione di 2 elementi a 7 a 7, le due composte dalle solo perle bianche o dalle sole perle nere, il resto delle collane si possono raggruppare in classi di equaivalenza di 7 elementi, e per tale motiva la soluzione sarà 20.
Cosa cambia nello stesso problema se due collane vengono considerate uguali per una qualsiasi rotazione nello spazio?
(Le perle sono tutte uguali, sferiche e dello stesso raggio)

Lasker, esatto 18.
La spiegazione che do non è rigorosa, ecco perché chiedevo altri pareri.
Partendo dalle 18+2 per le rotazioni nel piano, considerando quindi l'insieme delle rotazioni 18 rotazioni policromatiche diverse nel piano, adesso bisogna considerare nello spazio tutti i ribaltamenti fissata la prima perla, e l'asse di ribaltamento che divide le rimanenti perle i due insiemi 3 + 3.
Dividendo le 20 diverse collane per due costruisco altre 10 classi di equivalenza diverse quelle che presentano nelle prime 3 perle e nelle seconde, e viceversa perle invertite.
Ma attenzione ci sono da considerare altre 2^3 collane da aggiungere di nuovo, in quanto prensentano le perle gia simmetriche all'asse fissato.
Quindi in totale 18.

Qualcuno mi potrebbe dare una spiegazione migliore?

Dai Lasker, potevi almeno citarlo tu... xD
Infatti c'è un lemma figo (che non ho mai approfondito seriamente) che ci permette di contare bene questo genere di cose (collane, grafi, cose colorate tenendo conto delle rotazioni).
In questo caso, l'insieme $S$ è quello formato dalle collane di 7 palline bianche e nere, che possiamo scrivere come le stringhe lunghe 7 con lettere $b,n$ (ad esempio bbbbbbb,bnbnbnb,bbbnnnn ecc...), quindi $|S|=2^7$;
il gruppo che agisce è quello delle rotazioni e delle simmetrie di un ettagono, quindi abbiamo 7 rotazioni $R_i$ (l'identità più quelle che spostano il primo elemento in seconda, terza,...,sesta posizione: ad esempio $R_0(x)=x$ per ogni stringa, $R_1(bnnnnnn)=nbnnnnn$, $R_3(bnbbnnn)=nnnbnbb$) e 7 riflessioni $S_i$ che fissano l'$i$-esimo elemento e scambiano $i-k$ con $i+k$ per ogni $k$, con le giuste considerazioni in modulo (ad esempio $R_1(bnbnbnb)=bbnbnbn$); dunque $|G|=14$.
Contiamo ora quanti elementi fissa ogni elemento di $G$:
$R_0$ è l'identità, li fissa tutti, quindi $2^7$
$R_i$ ne fissano ciascuno $2$, quelle monocromatiche, poiché se una rotazione mantiene invariata la sequenza, allora ha un "periodo" che divide la lunghezza, che in questo caso è 7 ed è primo.
$S_i$ fissa quelli simmetrici, ovvero definiti i primi 4 elementi, gli altri 3 sono obbligati, quindi ognuno fissa $2^4$ elementi.
Alla fine abbiamo $$\displaystyle n=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|fix(g)|=\frac{2^7+6\cdot2+7\cdot2^4}{14}=18$$
Non ho ben capito il tuo ragionamento, ma il costruire "classi di equivalenza" funziona, ed è quello che fa il lemma qui sopra...

Drago96 ha scritto:Dai Lasker, potevi almeno citarlo tu... xD
Infatti c'è un lemma figo (che non ho mai approfondito seriamente) che ci permette di contare bene questo genere di cose (collane, grafi, cose colorate tenendo conto delle rotazioni).
In questo caso, l'insieme $S$ è quello formato dalle collane di 7 palline bianche e nere, che possiamo scrivere come le stringhe lunghe 7 con lettere $b,n$ (ad esempio bbbbbbb,bnbnbnb,bbbnnnn ecc...), quindi $|S|=2^7$;
il gruppo che agisce è quello delle rotazioni e delle simmetrie di un ettagono, quindi abbiamo 7 rotazioni $R_i$ (l'identità più quelle che spostano il primo elemento in seconda, terza,...,sesta posizione: ad esempio $R_0(x)=x$ per ogni stringa, $R_1(bnnnnnn)=nbnnnnn$, $R_3(bnbbnnn)=nnnbnbb$) e 7 riflessioni $S_i$ che fissano l'$i$-esimo elemento e scambiano $i-k$ con $i+k$ per ogni $k$, con le giuste considerazioni in modulo (ad esempio $R_1(bnbnbnb)=bbnbnbn$); dunque $|G|=14$.
Contiamo ora quanti elementi fissa ogni elemento di $G$:
$R_0$ è l'identità, li fissa tutti, quindi $2^7$
$R_i$ ne fissano ciascuno $2$, quelle monocromatiche, poiché se una rotazione mantiene invariata la sequenza, allora ha un "periodo" che divide la lunghezza, che in questo caso è 7 ed è primo.
$S_i$ fissa quelli simmetrici, ovvero definiti i primi 4 elementi, gli altri 3 sono obbligati, quindi ognuno fissa $2^4$ elementi.
Alla fine abbiamo $$\displaystyle n=\frac1{|G|}\sum_{g\in G}|fix(g)|=\frac{2^7+6\cdot2+7\cdot2^4}{14}=18$$
Non ho ben capito il tuo ragionamento, ma il costruire "classi di equivalenza" funziona, ed è quello che fa il lemma qui sopra...

Qualcuno saprebbe darmi un link dove viene approfondita questa cosa? Vorrei saperne di più