OliForum Matematico

Ciao a tutti. Vi propongo un problema dalla quarta olimpiade nazionale italiana, che si svolse a Viareggio. Probabilmente è molto più facile dei problemi che girano sul forum, ma spero vada bene lo stesso .

Alberto e Barbara giocano al seguente gioco: Alberto lancia una moneta $n$ volte, e Barbara lo fa $n+1$ volte. Il giocatore che ottiene più volte testa vince; o in caso di parità, vince Alberto. Trovare i valori di $n$ per cui il gioco è bilanciato.

Per iniziare ( ma anche per concludere ) guardiamo che cosa è successo dopo $ n $ lanci :

I due hanno punteggio diverso ; allora chi ha il punteggio maggiore ha già vinto in quanto se Barbara ha il puteggio maggiore la situazione non cambia ( Alberto ha finito i tiri ) , se è Alberto ad avere il punteggio maggiore allora nel peggiore dei casi Barbara pareggerà col prossimo lancio ma ciò porta alla vittoria di Alberto . Dunque questo caso è equo ed equiprobabile .

I due hanno lo stesso punteggio ; allora se Barbara fa testa all'ultimo lancio vince altrimenti perde . Dunque questo caso è equiprobabile ed equo .

Essendo entrambi i casi equiprobabili ed equi allora il gioco è bilanciato per ogni $ n $ .

Giusta ?