lim[x-->+inf](x-x<sup>2</sup>log[1+(1/x)])
<BR>
<BR>per quanto mi riguarda è un parto
<BR>(de l\'Hopital docet) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>qualcuno riesce a trovare un modo rapido ed indolore?
beccatevi questo!
Moderatore: tutor
lim x-x*log(1+1/x)^x=lim x-lne*x=x(1-1)=0
<BR>
<BR>sicuramente ho sbagliato qc^^
<BR>
<BR>EDIT: sì avevo sbagliato.. ora è giusto?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: AleX_ZeTa il 19-12-2003 20:00 ]
<BR>
<BR>sicuramente ho sbagliato qc^^
<BR>
<BR>EDIT: sì avevo sbagliato.. ora è giusto?<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: AleX_ZeTa il 19-12-2003 20:00 ]
"E se si sono rotti i freni?"
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
"Se si sono rotti i freni non ci resta che l'autostop e il viaggio si complica. Faremo il giro del mondo a piedi."
in effetti no...
<BR>a parte che non so quanto sia corretto utilizzare separatamente quel II limite fondamentale, e far tendere x a inf \"in 2 tempi\"..
<BR>nonstante ciò, quello che trovi tu è una bella forma indeterminata 0*inf
<BR>a parte che non so quanto sia corretto utilizzare separatamente quel II limite fondamentale, e far tendere x a inf \"in 2 tempi\"..
<BR>nonstante ciò, quello che trovi tu è una bella forma indeterminata 0*inf
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]
beh, ti dico che il risultato non è quello...
<BR>ti ripeto, non so quanto sia lecita l\'applicazione \"separata\" di quel limite di
<BR>(1+(1/x))<sup>x</sup>
<BR>se fai tendere x ad inf per calcolare quello, devi far tendere anche il resto intanto, e quello che ottieni è di fatto
<BR>+inf-inf che è una forma indeterminata
<BR>ti ripeto, non so quanto sia lecita l\'applicazione \"separata\" di quel limite di
<BR>(1+(1/x))<sup>x</sup>
<BR>se fai tendere x ad inf per calcolare quello, devi far tendere anche il resto intanto, e quello che ottieni è di fatto
<BR>+inf-inf che è una forma indeterminata
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]
Beh, perdonatemi se mi permetto... ma il problema mi pare quantomeno banale! Difatti, tenuto conto che 1/x ---> 0+ allorché x ---> +inf, si trova per sostituzione (posto x = 1/t) che:
<BR>
<BR>lim[x-->+inf] (x - x^2*log[1 + (1/x)]) =
<BR>
<BR>= lim[t-->0+] [1/t - (1/t^2)*log(1 + t)]
<BR>
<BR>sicché, supponendo (com\'è lecito d\'altronde) t << 1 ed espandendo di conseguenza la funzione f(t) := log(1 + t) in serie di Taylor-MacLaurin, si deduce ancora dalla precedente che:
<BR>
<BR>lim[x-->+inf] (x - x^2*log[1 + (1/x)]) =
<BR>
<BR>= lim[t-->0+] {1/t - (1/t^2)*{t - t^2/2 + t^3/3 - ... +
<BR>
<BR>+ [(-1)^(n+1)]*[(t^n)/n] + ...} =
<BR>
<BR>= lim[t-->0+] {1/t - 1/t + 1/2 - t/3 + (t^2)/4 - (t^3)/5 + ... +
<BR>
<BR>+ [(-1)^n]*[t^(n-2)/n] + ... =
<BR>
<BR>= 1/2 + lim[t-->0+] {t*sum[n = 3...+inf] [(-1)^n]*[t^(n-3)/n]} = 1/2
<BR>
<BR>a patto di considerare che risulta:
<BR>
<BR>lim[t-->0+] {t*sum[n = 3...+inf] [(-1)^n]*[t^(n-3)/n]} = 0
<BR>
<BR>come qualcuno avrà (mi auguro!) la buona lena di mostrare! Ciao... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>lim[x-->+inf] (x - x^2*log[1 + (1/x)]) =
<BR>
<BR>= lim[t-->0+] [1/t - (1/t^2)*log(1 + t)]
<BR>
<BR>sicché, supponendo (com\'è lecito d\'altronde) t << 1 ed espandendo di conseguenza la funzione f(t) := log(1 + t) in serie di Taylor-MacLaurin, si deduce ancora dalla precedente che:
<BR>
<BR>lim[x-->+inf] (x - x^2*log[1 + (1/x)]) =
<BR>
<BR>= lim[t-->0+] {1/t - (1/t^2)*{t - t^2/2 + t^3/3 - ... +
<BR>
<BR>+ [(-1)^(n+1)]*[(t^n)/n] + ...} =
<BR>
<BR>= lim[t-->0+] {1/t - 1/t + 1/2 - t/3 + (t^2)/4 - (t^3)/5 + ... +
<BR>
<BR>+ [(-1)^n]*[t^(n-2)/n] + ... =
<BR>
<BR>= 1/2 + lim[t-->0+] {t*sum[n = 3...+inf] [(-1)^n]*[t^(n-3)/n]} = 1/2
<BR>
<BR>a patto di considerare che risulta:
<BR>
<BR>lim[t-->0+] {t*sum[n = 3...+inf] [(-1)^n]*[t^(n-3)/n]} = 0
<BR>
<BR>come qualcuno avrà (mi auguro!) la buona lena di mostrare! Ciao... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>
esatto...
<BR>ci si poteva arrivare anche scivendo
<BR>lim[x-->+inf] [1-xlog(1+(1/x))]/x<sup>-1</sup>
<BR>e applicando due volte la regola di de l\'Hopital..<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 19-12-2003 22:16 ]
<BR>ci si poteva arrivare anche scivendo
<BR>lim[x-->+inf] [1-xlog(1+(1/x))]/x<sup>-1</sup>
<BR>e applicando due volte la regola di de l\'Hopital..<BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 19-12-2003 22:16 ]
[img:18oeoalk]http://www.narutolegend.it/char_img/Sasuke.jpg[/img:18oeoalk]
Sì, hai ragione! E\' solo che <!-- BBCode Start --><I>personalmente</I><!-- BBCode End --> non ho mai avuto molta stima nè nutrito troppa simpatia per il buon vecchio De L\'Hopital... mah, comunque, <!-- BBCode Start --><I>de gustibus non disputandum</I><!-- BBCode End -->, tanto più se c\'è di mezzo la Matematica! In ogni caso, siccome siamo in tema, vi propongo di calcolare il seguente:
<BR>
<BR>lim[n --> +inf] sum[k = 1...n] 1/(n^2 + k)
<BR>
<BR>NOTA: poiché n è tendente a +inf, si può assumere n >= 1, così da garantire la giusta definizione dell\'espressione che figura ad operando del limite sopra indicato. Ciò detto, buon lavoro e... in bocca al lupo! Ne avrete bisogno!
<BR>
<BR>P.S.: skerzo... il problema è più semplice di quanto non possa apparire... si fa così per dire... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 21-12-2003 16:15 ]
<BR>
<BR>lim[n --> +inf] sum[k = 1...n] 1/(n^2 + k)
<BR>
<BR>NOTA: poiché n è tendente a +inf, si può assumere n >= 1, così da garantire la giusta definizione dell\'espressione che figura ad operando del limite sopra indicato. Ciò detto, buon lavoro e... in bocca al lupo! Ne avrete bisogno!
<BR>
<BR>P.S.: skerzo... il problema è più semplice di quanto non possa apparire... si fa così per dire... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 21-12-2003 16:15 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>
Salve a tutti, dopo lungo tempo sono tornato su questi lidi.
<BR>Ma passiamo al sodo. Euler_25 spero di aver trovato una soluzione al tuo problema anche se non molto elegante ed espressa un po\' male.
<BR>
<BR>Prima di passare al limite analizziamo sum[k=1..n] 1/(n^2+k) , dunque se proviamo a scriverla in modo esplicito avremo 1/(n^2+1) + 1/(n^2+2) + ... + 1/(n^2+n), mettendo tutto a comun denominatore otteremo un polinomio in n di 2n-esimo grado [riflettiamo su (n^2+1)*(n^2+2)*...*(n^2+n)]. Al numeratore otterremo una somma di n polinomi in n di (2n-2)-esimo grado ognuno col coefficiente di n^(2n-2) pari a 1. Sommando questi polinomi ne otteremo uno solo di (2n-1)-esimo grado. Passando ora al limite risulta chiaro che questo tende a zero riducendosi ad essere un rapporto tra due polinomi di cui il divisore di grado > del dividendo [certamente per n>0 2n>2n-1].
<BR>Ma passiamo al sodo. Euler_25 spero di aver trovato una soluzione al tuo problema anche se non molto elegante ed espressa un po\' male.
<BR>
<BR>Prima di passare al limite analizziamo sum[k=1..n] 1/(n^2+k) , dunque se proviamo a scriverla in modo esplicito avremo 1/(n^2+1) + 1/(n^2+2) + ... + 1/(n^2+n), mettendo tutto a comun denominatore otteremo un polinomio in n di 2n-esimo grado [riflettiamo su (n^2+1)*(n^2+2)*...*(n^2+n)]. Al numeratore otterremo una somma di n polinomi in n di (2n-2)-esimo grado ognuno col coefficiente di n^(2n-2) pari a 1. Sommando questi polinomi ne otteremo uno solo di (2n-1)-esimo grado. Passando ora al limite risulta chiaro che questo tende a zero riducendosi ad essere un rapporto tra due polinomi di cui il divisore di grado > del dividendo [certamente per n>0 2n>2n-1].
Minasoko no
iwa ni ochitsuku
ko no ha kana
(Josho)
Sul fondo dell\'acqua
deposte su una roccia
fogle d\'albero
iwa ni ochitsuku
ko no ha kana
(Josho)
Sul fondo dell\'acqua
deposte su una roccia
fogle d\'albero
Ciao, RedXIII! Strano nome... il tuo!!! Ke vorrebbe dì? Mah, cmq... veniamo alla tua soluzione. Il risultato che hai postato è corretto, come pure le tue argomentazioni! Chiare e assolutamente ineccepibili, se non fosse per il fatto che sfruttano implicitamente un risultato (consentimi) tutt\'altro che scontato!!! Ovvero l\'assunzione che, nello sviluppo dei prodotti e delle somme parziali a numeratore della funzione razionale R(-) in n indicata nel corso del calcolo da te impostato, il coefficiente del generico termine di grado 2n - 2 - k, per k = 0, 1, ..., 2n - 2, sia un infinito di ordine minore o al più equivalente per n --> +∞ al termine monomiale n<sup>k + 1</sup>. Difatti, nel corso delle tue argomentazioni, ti sei limitato ad osservare che questa condizione è vera in riferimento al termine di grado 2n - 2, valutando (in modo corretto) che il suo coefficiente è pari esattamente ad n. Ora, tuttavia, siccome i coefficienti degli altri termini dello sviluppo di cui si discute dipendono da n secondo relazioni complesse, domando... come puoi essere certo che la condizione di cui ti ho detto sia verificata al di là di ogni ragionevole dubbio senza darne primieramente un\'adeguata dimostrazione? Bada bene che le medesime considerazioni potrebbero riferirsi tali e quali allo sviluppo dei prodotti e delle somme a denominatore della R(-)... attenderò impaziente i tuoi commenti!
<BR>
<BR>In ogni caso, visto che la tua soluzione (come ho detto) è sostanzialmente corretta (a parte questa cosuccia che ti è sfuggita, presumo, di rilevare...), propongo a te e agli altri un metodo alternativo, e decisamente meno problematico, per calcolare il limite da me proposto!!!
<BR>
<BR>Iniziamo con l\'osservare che, per ogni n€N, con n > 0, e per ogni k = 1, 2, ..., n:
<BR>
<BR>0 < 1/(n<sup>2</sup> + k) ≤ 1/(n<sup>2</sup> + 1) ==>
<BR>
<BR>==> sum[k = 1, ..., n] 1/(n<sup>2</sup> + k) ≤ sum[k = 1, ..., n] 1/(n<sup>2</sup> + 1) = n/(n<sup>2</sup> + 1)
<BR>
<BR>perciocché, passando al limite ai tre membri della relazione così acquisita per n --> +∞, si trova (in base ai teoremi del confronto sui limiti) che:
<BR>
<BR>0 ≤ lim<sub>n --> +∞</sub>sum[k = 1, ..., n] 1/(n<sup>2</sup> + k) ≤ lim<sub>n --> +∞</sub> n/(n<sup>2</sup> + 1) = 0
<BR>
<BR>per cui, in accordo al teorema dei due carabinieri:
<BR>
<BR>lim<sub>n --> +∞</sub>sum[k = 1, ..., n] 1/(n<sup>2</sup> + k) = 0
<BR>
<BR>Ciao... Salvo alias euler_25!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 27-12-2003 23:28 ]
<BR>
<BR>In ogni caso, visto che la tua soluzione (come ho detto) è sostanzialmente corretta (a parte questa cosuccia che ti è sfuggita, presumo, di rilevare...), propongo a te e agli altri un metodo alternativo, e decisamente meno problematico, per calcolare il limite da me proposto!!!
<BR>
<BR>Iniziamo con l\'osservare che, per ogni n€N, con n > 0, e per ogni k = 1, 2, ..., n:
<BR>
<BR>0 < 1/(n<sup>2</sup> + k) ≤ 1/(n<sup>2</sup> + 1) ==>
<BR>
<BR>==> sum[k = 1, ..., n] 1/(n<sup>2</sup> + k) ≤ sum[k = 1, ..., n] 1/(n<sup>2</sup> + 1) = n/(n<sup>2</sup> + 1)
<BR>
<BR>perciocché, passando al limite ai tre membri della relazione così acquisita per n --> +∞, si trova (in base ai teoremi del confronto sui limiti) che:
<BR>
<BR>0 ≤ lim<sub>n --> +∞</sub>sum[k = 1, ..., n] 1/(n<sup>2</sup> + k) ≤ lim<sub>n --> +∞</sub> n/(n<sup>2</sup> + 1) = 0
<BR>
<BR>per cui, in accordo al teorema dei due carabinieri:
<BR>
<BR>lim<sub>n --> +∞</sub>sum[k = 1, ..., n] 1/(n<sup>2</sup> + k) = 0
<BR>
<BR>Ciao... Salvo alias euler_25!!! <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 27-12-2003 23:28 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>
com\'è che non avevo letto questo problema?? <IMG SRC="images/forum/icons/icon_confused.gif"> <IMG SRC="images/forum/icons/icon24.gif">
<BR>beh, comunque sia...
<BR>dunque sum [k=1..n] 1/(n²+k) < [k=1..n] 1/n² = n/n² = 1/n, da cui si deduce che il limite cercato è forzatamente 0, essendo minore di dell\'inverso di qualsiasi naturale (si chiama assioma d\'archimede \'sta roba?)
<BR>
<BR>beh, comunque sia...
<BR>dunque sum [k=1..n] 1/(n²+k) < [k=1..n] 1/n² = n/n² = 1/n, da cui si deduce che il limite cercato è forzatamente 0, essendo minore di dell\'inverso di qualsiasi naturale (si chiama assioma d\'archimede \'sta roba?)
<BR>
E siccome ci siamo, rilancio proponendo un problema decisamente più impegnativo... aprite bene gli occhi!!! Sentito, ma_go? Mi riferisco a te principalmente, ké o 6 ubriaco di alcool e figa oppure ti 6 abbandonato anzitempo al tenero abbraccio del divin Morfeo... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif">
<BR>
<BR>E allora, <!-- BBCode Start --><B>ecco la questione</B><!-- BBCode End -->: essendo {x<sub>n</sub>}<sub>n ≥ 1</sub> una successione numerica a valori reali convergente a un certo x€R per n --> +∞, dimostrare che:
<BR>
<BR>lim<sub>n --> +∞</sub> prod[k = 1, ..., n] (1 + x<sub>k</sub>/n) = e<sup>x</sup>
<BR>
<BR>Sono un po\' bastardo, lo so... ma basta coi complimenti o divento tutto rosso... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> ... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> ... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 27-12-2003 23:43 ]
<BR>
<BR>E allora, <!-- BBCode Start --><B>ecco la questione</B><!-- BBCode End -->: essendo {x<sub>n</sub>}<sub>n ≥ 1</sub> una successione numerica a valori reali convergente a un certo x€R per n --> +∞, dimostrare che:
<BR>
<BR>lim<sub>n --> +∞</sub> prod[k = 1, ..., n] (1 + x<sub>k</sub>/n) = e<sup>x</sup>
<BR>
<BR>Sono un po\' bastardo, lo so... ma basta coi complimenti o divento tutto rosso... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_cool.gif"> ... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> ... <IMG SRC="images/forum/icons/icon_smile.gif"> <BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: euler_25 il 27-12-2003 23:43 ]
<center>Le cose cambiano... e i sentimenti pure...</center>