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Somme abbastanza grandi
Inviato: 09 gen 2015, 23:12
da Drago96
Dato $n\ge4$, siano $x_1,\dots,x_n$ numeri reali tali che $$x_1+x_2+\dots+x_n\ge n\;\;\;\;\;\text e\;\;\;\;\; x_1^2+x_2^2+\dots+x_n^2\ge n^2$$
Dimostrare che $\text{max}(x_1,\dots,x_n)\ge2$
Re: Somme abbastanza grandi
Inviato: 15 gen 2015, 14:28
da erFuricksen
Supponiamo che $ \forall x_k < 2 $, allora sicuramente $ \sum_{k=1}^n x_k^2 < 4 n $
quindi $ n^2 \le \sum_{k=1}^n x_k^2 < 4 n $
allora $ n^2 < 4n $ e quindi $ n<4 $ (lo 0 è trascurabile, non si possono avere 0 numeri). Ma questo contraddice l'ipotesi $ n \ge 4 $
Quindi necessariamente esisterà almeno un $ x_k \ge 2 $
Re: Somme abbastanza grandi
Inviato: 15 gen 2015, 14:34
da AGallese
Ma $x_k^2 \geq 4$ anche se $x_k \leq -2$
Re: Somme abbastanza grandi
Inviato: 15 gen 2015, 15:02
da erFuricksen
Hai ragione, ci penso e correggo
Re: Somme abbastanza grandi
Inviato: 26 gen 2015, 00:23
da gpzes
..forse è spoiler
