Dubbi su cosa si può scrivere o meno in geometria

[nic.h.97]

1)Considerate il fascio di rette parallele qua sotto.
$ \tfrac{AA_2}{A_1A_2}=\tfrac{BB_2}{B_1B_2} $
Se ho questo , vedo spesso , prima di ricondurci al teorema di talete ( magari per dimostrare il parallelismo ) , che si ricorre a proprietà delle proporzioni per esprimerla in questo modo :
$ \tfrac{AA_1}{A_1A_2}=\tfrac{BB_1}{B_1B_2} $
Chiedo perché in tutte le dimostrazioni che ho letto applica questa cosa qua . E' davvero necessario ricorrere prima a questo passaggio? A me sembrava già diretta così
2) Per il corollario del teorema di Talete , se consideriamo un triangolo e una retta parallela($ CD $ in figura) ad un suo lato ($ EF $) , otteniamo 2 triangoli simili.
Però , nelle dimostrazioni , leggo sempre che fa tutti i passaggi per dimostrare la similitudine : quindi , otteniamo angoli uguali per le rette parallele tagliate da trasversale ecc.. ecc..
Non dà mai nota la cosa dicendo "per il corollario del teorema di Talete" e risparmiando righe e tempo . A Febbraio si può ?


Son piccole finezze , ma mi mettono in dubbio

[fph]

Non ho capito qual è la domanda.

[nic.h.97]

Riferendoci alla figura di sopra , quando ho
$ \tfrac{AA_2}{A_1A_2}=\tfrac{BB_2}{B_1B_2} $
E' già banale dedurre il parallelismo , ma in tantissime dimostrazioni che ho letto fa questi passaggi :
$ \tfrac{AA_2-A_1A_2}{A_1A_2}=\tfrac{BB_2-B_1B_2}{B_1B_2} $ , inserendo " per semplici proprietà delle proporzioni , o dello scomporre"
per arrivare a questo
$ \tfrac{AA_1}{A_1A_2}=\tfrac{BB_1}{B_1B_2} $
Però si potrebbe dedurre già da sopra o no?

Però , ad esempio , nel mio libro di testo di geometria lo applica tutte le volte e non solo . Anche nel dimostrativo del 2012 di febbraio lo applica e anche nel libro di Paolini se non ricordo male .

Nel 1^ caso ho la proporzione tra un segmento ed uno contenuto in esso, però vedo che bisogna portarlo nella forma " 2 segmenti separati " per poter affermare che le ipotesi dell'inverso del Talete sono soddisfatte.

Per quanto riguarda il punto 2) che mi dite? Nelle soluzioni dei testi assegnati alle gare non l'ho mai visto usare il corollario del teorema di Talete , ma in libri scolastici sì.
Per sicurezza è meglio scrivere tutti i passaggi. Credo. ( quindi angoli individuati da rette parallele ecc.. ecc.. )

[fph]

Allora... "il corollario del teorema di Talete" non è un termine standard, può darsi che lo usi il tuo libro di testo ma in generale è un po' ignoto.

Hai ragione che quei due casi ($A_1$ tra $A$ e $A_2$ oppure fuori) sono praticamente uguali, e qualunque correttore sensato accetterebbe un "per Talete" come giustificazione in tutti e due.

Perché diversi testi fanno un passaggio in più e si riducono al caso di segmenti non sovrapposti? Probabilmente per chiarezza, perché pensano (e secondo me hanno ragione) che il caso di Talete in cui i due segmenti a cui lo applichi sono disgiunti sia più "intuitivo"; magari uno studente ha visto solo quello, quindi a scanso di equivoci riconduciamoci ad esso.

[nic.h.97]

quindi a scanso di equivoci

A me invece è proprio quello che ha creato dubbi

[EvaristeG]

Intanto, quel corollario di Talete mi sembra inutile: se faccio una retta parallela ho due triangoli con gli stessi angoli, quindi simili. Non si passa per le proporzioni dei lati. Inoltre, quel fatto è la dimostrazione del Teorema di Talete contenuta negli elementi, quindi semmai è Talete che è corollario di quella cosa sui triangoli simili.

Poi, ho guardato i pdf di Febbraio 2012 e non c'è la parola Talete :/ e comunque il motivo di quella manipolazione è più o meno quello che sostiene fph, anche se io in realtà sarei più cattivo e lo vedrei nel fatto che per molti il Teorema di Talete è proprio che $AA_1:A_1A_2=BB_1:B_1B_2$, con queste coppie di segmenti, e non altri.
Tale enunciato, più comodo scolasticamente perché dà una formula, ovviamente non comprende gli altri casi, che vanno ricondotti a questo sommando o sottraendo 1 o cose simili ....
Ovviamente, l'enunciato vero del teorema è che classi di segmenti omologhi sono proporzionali, indipendentemente se siano uno contenuto nell'altro o che ...

[fph]

Non avrei saputo scriverlo meglio.

Il fatto che serve a te in pratica è una configurazione diversa del teorema di Talete (è il caso in cui $A_2$ è compreso tra $A$ e $A_1$), quindi se uno l'avesse dimostrato usando a modo angoli e segmenti orientati allora il teorema di Talete "base" include anche quello. In pratica, solo parlare di problemi di configurazione e segmenti orientati è geometria molto più avanzata di Talete, quindi, come dice il buon Evaristo, meglio tagliare la testa al toro e dire che Talete è solo quello con i segmenti disgiunti, a beneficio dei meno esperti.

[matpro98]

Un mio dubbio invece è: è lecito fare una dimostrazione "mista"? Ad esempio dimostrare un passaggio in trigonometria e completare il tutto in sintetica?

[EvaristeG]

ovviamente sì...

[nic.h.97]

Poi, ho guardato i pdf di Febbraio 2012 e non c'è la parola Talete :/

Mi son confuso , non era il 2012 , ma il 2013 .
Comunque è tutto chiaro ora.

[nic.h.97]

Altre domande :
1) è importante usare la giusta notazione degli angoli , per cui l'angolo $ \angle\ ABC \ne\ \angle\ CBA $ . Suppongo di no , perché di solito si capisce di che angolo parliamo . O sbaglio?
2) inoltre , se abbiamo $ 2 $ triangoli $ ABC $ e $ BCD $ , con lo stesso lato $ BC $ condiviso , e $ \angle\ BAC = \angle\ BDC $ (quindi gli angoli che sottendono $ BC $ sono uguali ) si ha un quadrilatero ciclico . Questo fatto è noto o bisogna dimostrarlo?
3) Per i criteri di congruenza e similitudine , è importante affermare se sia il 1^ , il 2^ o il 3^ ?.
E per gli angoli che si formano da 2 parallele tagliate da una trasversale ( Quindi coniugati , corrispondenti , ecc ecc. )?

[matpro98]

Attento che il punto 2 vale solo se i vertici sono in ordine, perché se D è nel semipiano in cui non c'è A rispetto a BC, quello che dici è vero solo in un caso

[karlosson_sul_tetto]

1) è importante usare la giusta notazione degli angoli , per cui l'angolo $ \angle\ ABC \ne\ \angle\ CBA $ . Suppongo di no , perché di solito si capisce di che angolo parliamo . O sbaglio?

L'angolo $\angle ABC$ è sempre uguale all'angolo $\angle CBA$, sia come grandezza che come porzione di piano, tranne se stai usando gli angoli orientati, ma dubito che questo sia il caso.

2) inoltre , se abbiamo $ 2 $ triangoli $ ABC $ e $ BCD $ , con lo stesso lato $ BC $ condiviso , e $ \angle\ BAC = \angle\ BDC $ (quindi gli angoli che sottendono $ BC $ sono uguali ) si ha un quadrilatero ciclico . Questo fatto è noto o bisogna dimostrarlo?

È un fatto noto che gli angoli alla circonferenza siano uguali, non c'è bisogno di dimostrarlo; però stai attento, perché come dice giustamente matpro questo è vero solo se $A$ e $D$ si trovano nello stesso semipiano rispetto a $BC$

3) Per i criteri di congruenza e similitudine , è importante affermare se sia il 1^ , il 2^ o il 3^ ?.
E per gli angoli che si formano da 2 parallele tagliate da una trasversale ( Quindi coniugati , corrispondenti , ecc ecc. )?

Io ho sempre scritto "questi triangoli hanno tot e tot uguale, quindi sono congruenti/simili", oppure "questi due angoli sono uguali/supplementari in quanto formati da due rette parallele tagliate da questa trasversale", non ho mai imparato tutti i nomi. xD

È vero che dipende tanto dal correttore, ma penso che non ce ne siano di cosi pignoli da togliere punti per non aver detto il numero del criterio di congruenza

[nic.h.97]

Altra domanda.
Abbiamo i triangoli rettangoli $ ABC $ e $ DCE $ simili tra loro.
Se $ M_1 $ è il punto medio di $ AB $ e $ M_2 $ è il puntio medio di $ DE $ , allora anche i triangoli $ AM_1C $ e $ DM_2F $ sono simili , come $ CBM_1 $ e $ FM_2E $.
Dev' essere dimostrata la cosa ? Perché in un febbraio vecchio non lo fa .
Se sì , come si fa?
Suppongo si faccia per via trigonometrica . C'è qualche altro modo alternativo poi? Omotetie?

[matpro98]

Lo puoi dimostrare facilmente considerando i rapporti tra i lati