polarized ha scritto:Queste domande mi consigli di pormele guardando l'equazione iniziale o quella "semplificata"?
Pensavo a quella originale, che mi sembra più comoda per il tipo di disuguaglianze che ho in mente.
Io comunque, ragionando su $ m + n + 1 = \frac{2}{5} mn $, ho provato a pormi le tue domande:
-Cosa succede se $ m,n \ge \ 6 $ ?
Se sia m che n sono maggiori di 6 posso dire con certezza (?) che non avrò soluzioni perchè il membro di destra diventerebbe troppo grande rispetto a quello di sinistra ( non ho usato sicuramente le parole giuste, spero si sia capito)
Perfetto! Questo fatto si vede bene con l'equazione originale: se $m,n$ sono entrambi almeno uguali a 6, allora (nota che più $m,n$ sono grandi più gli inversi sono piccoli)
\[
1/m + 1/n + 1/(mn) \leq 1/6+1/6+1/36 =13/36 < 2/5,
\]
quindi il membro di sinistra è troppo piccolo. Era quello che intendevo con la domanda "Quanto grande può essere al massimo il membro di sinistra?". Morale, non ci sono soluzioni con $m,n$ entrambi "grandi"
La conclusione è che mi aspetto di avere delle soluzioni con m non maggiore di 6 e n non maggiore di 5 (sbaglio?)
Quello che hai dimostrato è che $m,n$
non possono essere
entrambi maggiori o uguali a 6. La negazione di questa frase è
almeno uno tra $m,n$ è al più uguale a 5, o equivalentemente $ \min\{m,n\} \leq 5 $. Ancora in altre parole, se ho una soluzione con $m,n$ entrambi positivi, allora il più piccolo dei due non supera 5. Invece non puoi dedurre niente sulla coppia, uno dei due può anche essere molto più grande di 6: per esempio, c'è la soluzione (3,20). Oltretutto, attento che il ruolo di $m,n$ è simmetrico, quindi come minimo avresti dovuto scrivere
m non maggiore di 6 e n non maggiore di 5, oppure n non maggiore di 6 e m non maggiore di 5.
-Cosa succede se m (oppure n) è piccolo, diciamo m≤2?
Se m è piccolo mi viene da pensare che anche n diminuisca, però non ne sono del tutto sicuro
Sempre sull'equazione iniziale: se $m \leq 2$, allora $1/m \geq 1/2 > 2/5$, quindi a maggior ragione $1/m + 1/n + 1/mn > 2/5$, e quindi non ci sono soluzioni. In altre parole, $ \min\{m,n\} \geq 3 $. Mettendo insieme questa disuguaglianza e quella sopra, abbiamo scoperto che il minimo tra $m,n$ è 3, 4, o 5, che non è un'informazione da poco!
- E cosa succede se esattamente uno dei due è negativo?
Non possono essere entrambi negativi (mi sembra), e se uno è negativo non so cosa dire, non riesco a trarre nessuna conclusione, forse che n resta piccolo? non saprei
E' vero che non possono essere entrambi negativi (dimostrazione, sempre sull'equazione originaria: se sono entrambi negativi, l'unico termine positivo presente a sinistra è $1/mn$. Ma d'altro canto $1/n + 1/mn = 1/n \left( 1+\frac{1}{m} \right) \leq 0$ (perché?), e quindi $1/m+1/n+1/mn$ è strettamente negativo, assurdo). Se invece (diciamo) $m$ è positivo e $n$ è negativo, dei tre termini che stanno a sinistra uno solo è positivo ($1/m$) e gli altri due sono negativi. Ma allora puoi scrivere
\[
\frac{1}{m} = 2/5 - \frac{1}{n} - \frac{1}{mn} > 2/5
\]
e quindi $\displaystyle \frac{1}{m} > \frac{2}{5}$, ovvero $m < \frac{5}{2}=2.5$, e quindi $m=1$ oppure $m=2$. Detto meglio:
se esattamente uno tra $m,n$ è positivo, allora quello positivo dei due è uguale a 1 oppure a 2.
Ok, ora dovrebbe essere finita, no? Abbiamo mostrato che c'è un numero piccolo di casi da considerare...
?
purtroppo la mia familiarità con questo tipo di problemi essendomi affacciato da poco all'ambito olimpico è davvero poca, in quanto sono esercizi che mai si affrontano a livello scolastico!
).
