OliForum Matematico

Dimostrare che, preso un $n$-agono regolare inscritto in una circonferenza di raggio $1$, il prodotto di tutte le corde aventi per estremi due vertici del poligono, di cui uno è fissato, compresi i lati, è $n$.
Sempre che non abbia sbagliato...

Aspetta sei sicuro del risultato? Sono un po' svampito ma mi pare che per il quadrato non torni!

S, infatti, volevo mettere una versione più complicata ma era sbagliata. Ho corretto con l'originale

Mettendoci nel piano complesso, gli $n$ vertici del poligono corrispondono (per una nota proprietà) alle radici $n$-esime dell'unità. Le distanze cercate corrisponderanno quindi ai moduli dei numeri complessi $1-\omega_i$, per $i$ che va da $1$ a $n-1$.
Considerando ora il polinomio $$P(x)=\frac{x^n-1}{x-1}=\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}$$
Esso avrà come radici esattamente tutte le radici dell'unità escluso $1$ (perché abbiamo eliminato il fattore $(x-1)$), e quindi si potrà fattorizzare (per Ruffini, osservando anche che il polinomio di partenza è monico) come
$$\sum_{i=0}^{n-1} x^{i}=P(x)=\prod_{i=1}^{n-1}(x-\omega_i)$$
Ma allora vale
$$n=\left|\sum_{i=0}^{n-1} 1^{i}\right|=|P(1)|=\left|\prod_{i=1}^{n-1}(1-\omega_i)\right|=\prod_{i=1}^{n-1} |1-\omega_i|$$
E la tesi è dimostrata

Beh può essere anche quella interessante!
Magari se il prodotto valesse tipo $ n^{n/2} $

Sì, giusto, allora avevo sbagliato il /2

ah, un vecchio classico dei primi G1 medium

EvaristeG ha scritto:ah, un vecchio classico dei primi G1 medium

4000 MESSAGGI!!1!!11!!!
AUGURI!!! <3 <3 <3 8===D




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EvaristeG ha scritto:ah, un vecchio classico dei primi G1 medium

Davvero? Non lo sapevo

http://olimpiadi.dm.unibo.it/videolezio ... G1-Sam.pdf
Beh, all'epoca era Trigonometria plus + un po' di disuguaglianze a caso (sì, non avevamo le idee chiare). E questo era un bell'esercizio sui numeri complessi.

(o ti ignoro o ti stanzo, coso, fai tu...)

Dai, con i medium non mi sono spinto fino al 2010... se proprio vuoi, ignorami allora

EvaristeG ha scritto:(o ti ignoro o ti stanzo, coso, fai tu...)

Cosa credi, che non ci abbiano già provato? Se riesci a sopportare il tanfo di birra e la musica del belin all'entrata nel sacro tempio, sei meritevole di stanzarlo

matpro98 ha scritto:Dai, con i medium non mi sono spinto fino al 2010... se proprio vuoi, ignorami allora

Non parlavo con te, come ha chiaramente colto <enigma> (a cui posso solo rispondere: tsk...amateurs...)

EvaristeG ha scritto:

matpro98 ha scritto:Dai, con i medium non mi sono spinto fino al 2010... se proprio vuoi, ignorami allora

Non parlavo con te, come ha chiaramente colto <enigma> (a cui posso solo rispondere: tsk...amateurs...)

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