OliForum Matematico

..ma se usi il caso f(0)=1 allora non può essere f(x)=x-1.. ..
per non esistenza di altre soluzioni mi sembra che hai già dedotto le condizioni necessarie..

In realtà tu hai dedotto $|f(x)-x|=1$ per ogni $x$, il che ti dice solo che $f(x)=x+c_x$ con $c_x\in\{-1,1\}$, ma non che $c_x$ sia uguale per ogni $x$; quindi, a priori, sarebbe possibile che $f(0)=1$ e $f(2000)=1999$; per scartare questa possibilità ti consiglio di sostituire