Costruzione euclidea

[karlosson_sul_tetto]

Mostrare come costruire, dati riga e compasso, una circonferenza passante per due punti dati e tangente ad una retta data (ovviamente SE esiste una tale circonferenza).

[Lasker]

Siano $A$ e $B$ i due punti, e sia $r$ la retta (wlog $A$ più lontano di $B$ dalla retta), e dividiamo in tre casi, a seconda che la retta $AB$ sia parallela a $r$, che $A$ e $B$ appartengano allo stesso semipiano oppure che $A$ e $B$ siano nei due semipiani opposti (i semipiani di cui parlo sono quelli determinati dalla retta $r$, se non si fosse capito).

Caso a): In questo caso basta prendere l'asse di $AB$, intersecarlo con $r$ ed ottenere $X$; prendere quindi l'asse di $AX$ e trovare il punto di intersezione $O$ di quest'asse con il precedentemente tracciato asse di $AB$. Per completare la figura, ci basta puntare il compasso in $O$ con apertura $AO$, ottenendo la circonferenza desiderata.

Caso b): Traccio la retta $AB$ e considero il punto $X:=AB\cap r$ (che esiste perché $AB$ e $r$ non sono parallele, in quanto si ricadrebbe nel caso precedente). Preso il punto medio $K$ di $AX$, traccio la circonferenza $\Gamma_1$ di centro $K$ e raggio $AK$. Tirata ora la perpendicolare in $B$ alla retta $AB$, chiamo $L$ uno dei due punti di intersezione di questa perpendicolare con $\Gamma_1$. Ora punto il compasso in $X$ con apertura $LX$ e traccio la circonferenza $\Gamma_2$, e chiamo $Y$ il punto di intersezione tra $\Gamma_2$ ed $r$ più vicino a $A$. Infine considero l'intersezione $O$ tra gli assi di $AB$ e $AY$ e traccio la circonferenza voluta puntando il compasso in $O$ con apertura $AO$.

Caso c): Se i due punti sono in semipiani distinti, la circonferenza desiderata non esiste, in quanto dovrebbe avere due intersezioni con la retta $r$, mentre per essere tangente ne deve avere solo una.

Osservazioni: L'idea che ho usato è stata ottenere un punto $Y$ sulla retta $r$ tale che $XY^2=XA\cdot XB$ ed usare l'inverso del teorema della secante/tangente, mentre la costruzione di questo punto sfrutta il secondo teorema di Euclide.

[karlosson_sul_tetto]

Direi giusta anche se poteva resiste un pochino per i meno pro di lasccer.

Osservazione: non è necessario prendere Y come l'intersezione più vicina ad A, infatti ci sono due soluzioni (circonferenza "tra" AB e $r$ oppure "esterna" sia ad AB che a $r$).

[Lasker]

non è necessario prendere Y come l'intersezione più vicina ad A, infatti ci sono due soluzioni (circonferenza "tra" AB e r oppure "esterna" sia ad AB che a r).

Beh, ma tu hai scritto di trovarne UNA (comunque ovviamente l'altra mi era sfuggita, l'ho scartata quasi senza pensare )