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$ $Il lemma LTE si può generalizzare a più termini?
Ad esempio è vero che se $ p $ è un primo diverso da 2, $ n $ è dispari e $ p\mid x+y+z $ ma $ x,y,z $sono coprimi con $ p $ allora:
$ v_p(x^n+y^n+z^n)=v_p(x+y+z)+v_p(n) $?

No, infatti $x=y=1,z=p-2,n=3$ è un controesempio per tutti i primi $p>3$.

Se $p=3$ allora $x=y=1,z=7,n=3$ è un altro controesempio.

Il fulcro della dimostrazione di LTE si basa sull'identità algebrica $ x^n-y^n=(x-y)(\sum\limits_{i=0}^{n-1}x^iy^{n-i}) $, per generalizzarlo dovresti trovare qualcosa di analogo...

Chiaro, grazie!