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Sommatoria di quadrati di binomiali
Inviato: 15 mar 2015, 11:03
da karlosson_sul_tetto
Dovrebbe essere un problema diffuso, ma chissene.
Dimostrare che per ogni $n\geq 1$ vale:
$\sum\limits_{i=0}^n \binom{n}{i}^2= \binom{2n}{n}$
Re: Sommatoria di quadrati di binomiali
Inviato: 15 mar 2015, 11:44
da mr96
Per la formula di Vandermonde vale $ \binom{a+b}{c}=\sum_{i=0}^{c}\binom{a}{i} \binom{b}{c-i} $. Ricordando che $ \binom{n}{k}=\binom{n}{n-k} $ pongo $ a=b=c=n $ e ho finito
Re: Sommatoria di quadrati di binomiali
Inviato: 15 mar 2015, 11:56
da karlosson_sul_tetto
BAAAAAAM! 
Fighissima la formula di Vandermonde, non la conoscevo
Re: Sommatoria di quadrati di binomiali
Inviato: 15 mar 2015, 12:05
da fph
Ok, allora visto che l'avete tirata fuori, qualcuno dimostri la formula di Vandermonde...
(che per quanto ne so si dimostra esattamente nello stesso modo che la soluzione "umana" del primo problema con i quadrati).
Re: Sommatoria di quadrati di binomiali
Inviato: 15 mar 2015, 12:16
da mr96
Da quel che so, ci sono almeno altre due dimostrazioni fattibili, ma questa forse è la più intuitiva
Re: Sommatoria di quadrati di binomiali
Inviato: 15 mar 2015, 14:32
da Drago96
Oppure $\displaystyle\sum_{c=0}^{a+b}\binom {a+b} c x^c=(1+x)^{a+b}=(1+x)^a (1+x)^b $ e
$\displaystyle(1+x)^a (1+x)^b=\left ( \sum_{i=0}^a\binom a i x^i \right)\left ( \sum_{j=0}^b\binom b j x^j \right)=\sum_{k=0}^{a+b}x^k\left (\sum_{i+j=k}\binom a i\binom b j\right)$