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a)(i) La distanza massima tra due punti interni ad un triangolo equilatero è pari al lato. Come si dimostra questa affermazione?
-(ii) in un triangolo , la distanza massima tra due punti interni al triangolo stesso , è pari al lato più lungo . Come si dimostra quest'altra affermazione?

In generale mi pare di aver notato che , in ogni poligono , la distanza massima tra due punti interni al poligono equivale al più grande segmento tra tutti i segmenti possibili che uniscono 2 dei vertici del poligono (e il segmento può uscire dalla figura se è concava) . E' vera questa cosa? Se sì , come si dimostra?
Non credo siano cose scontate , anche se apparentemente ovvie ..

La cosa che hai scritto è vera; l'idea per la dimostrazione è presupporre il contrario e trovare un segmento più lungo.

Prendi un segmento a caso delimitato da due punti A e B. Se almeno uno dei due punti si trova all'interno (non sul bordo) del poligono, prolunga la retta AB fino a quando non tocca il bordo del poligono in C e D (prendendo il bordo "esterno" se il poligono è concavo). Allora di sicuro $CD>AB$.
Ora, D sta sul lato del poligono delimitato dai due vertici X,Y. Se D non coincide né con X né con Y, allora D si trova in mezzo tra X e Y. Sia H la proiezione di C sulla retta XY. Preso due punti E,F sulla retta XY, allora $CE>CF \iff HE>HF$ (si vede facilmente con pitagora). Se H si trova sul segmento XD, allora $HD<HY$ e quindi $CD<CY$; se viceversa $H$ si trova su $YD$, allora $HD<HX$ e $CD<CX$.
Questo vuol dire che se trovi un segmento i cui vertici stanno sul perimetro del poligono, ne trovi uno ancora più lungo se sposti uno degli estremi fino a quando non finisce su uno dei vertici del poligono.

(Per chi ha già visto queste cose in un senior, l'idea che c'è sotto è "convessità della funzione distanza".)