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Rosi ha un giardino triangolare in cui un angolo è il doppio di un altro, mentre il terzo è un angolo ottuso. La misura dei tre lati è data da un numero intero di metri.
Qual è, al minimo, il perimetro del giardino di Rosi?



Fornire spiegazione risolutiva, mi raccomando che sia chiara grazie!

Supponendo che tale triangolo esista possiamo limitarci al caso in cui le lunghezze dei lati siano quantità prime fra loro, ossia $\gcd \left( a,b,c \right)=1$. Inoltre, essendo un triangolo, ad angolo maggiore si oppone lato maggiore e posso supporre $a\le b\le c$.
Tracciata BE bisettrice dell’angolo B ottengo due triangoli simili ABC e EBC.
Ma allora $\frac{a}{b}=\frac{BE}{c}=\frac{b-BE}{a}$ e da qui si ricava $a(a+c)={{b}^{2}}$ (*), ossia la condizione affinché ci sia un angolo doppio.
La relazione (*) penso possa essere studiata in vari modi (e.g. sostituzione di Ravi) ,
cosa che non ho fatto .
Comunque sia bisogna sempre tenere conto delle disuguaglianze triangolari ($c\le a+b$).
L’approccio che ho usato è stato questo.
Poiché $\gcd \left( a,b,c \right)=1$, i fattori in LHS di (*) devono essere primi fra loro.
Allora esistono numeri naturali tali che $a={{m}^{2}},a+c={{n}^{2}}$ , ossia $\left\{ \begin{align}
& a={{m}^{2}} \\
& b=m\cdot n \\
& c={{n}^{2}}-{{m}^{2}} \\
\end{align} \right.$,
con $\gcd \left( m,n \right)=1,\quad m<n<2m$.
Supponendo di non avere sbagliato i conti avevo trovato minimo per m=5 e n=9.

...e $3\cdot {{m}^{2}}<{{n}^{2}}$ per essere triangolo ottuso $\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}}<{{c}^{2}} \right)$.

Sarò sicuramente stupido, ma facendo i conti a me viene un perimetro di 77 (rispettivamente 16 - 28 - 33): con un angolo ottuso di circa 93,13 gradi, e gli altri due rispettivamente di circa 28,96 e 57,91 gradi.

Metodo in sintesi:
i) grazie al Teorema dei seni ottengo la misura di ogni lato in funzione del seno e coseno dell’angolo minore [math]\alpha e del lato ad esso opposto che indicherò come [math]\overline{AB}=a\in\mathbb{N};
ii) banali considerazioni sul coseno di [math]\alpha, portano a dire che (sulla base delle relazioni ricavate al punto precedente) esso deve essere razionale con: [math]\frac{\sqrt{3}}{2}<\cos\alpha<1;
iii) ora, supposto [math]\cos\alpha=\frac{n}{n+1}, segue [math]n=7 come più piccolo numero intero per cui vale la relazione cercata;
iv) a questo punto si conclude con [math]a =16, quale valore minimo per avere le tre misure dei lati intere.

...ma come detto probabilmente sbaglio, visto che sono una schiappa in matematica.

Ciao a tutti.