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Disuguaglianza Fisica
Inviato: 03 apr 2015, 11:43
da simone256
Questo problema è quasi più di matematica che di fisica, quindi ho la coscienza a posto a postarlo qui:
Si consideri un sistema di $ N $ corpi legato gravitazionalmente, con energia totale $ E \leq 0 $. Si ponga l'origine delle coordinate nel centro di massa del sistema e l'asse $ \hat z $ avente direzione e verso del momento angolare $ \vec L $ del sistema. Sia $ I $ il momento d'inerzia del sistema rispetto all'asse $ \hat z $. Sia $ V $ l'energia potenziale del sistema. Dimostrare che:
$ \displaystyle I V^2 \geq 2 |E| L^2 $
Considerato che manca meno di una settimana ai nazionali di fisica può essere un buon allenamento
Re: Disuguaglianza Fisica
Inviato: 03 apr 2015, 17:29
da GimmyTomas
Detta $ K $ l'energia cinetica, sappiamo che $ E=V+K $ e, essendo $ E\leq0 $, $ |E|=-V-K $.
Dunque la tesi diventa $ IV^2\geq-2VL^2-2KL^2\implies IV^2+2L^2V+2KL^2\geq0 $.
Guardandola come una disequazione di secondo grado in $ V $, affinché sia sempre non negativa basta che sia $ \Delta\leq0\implies L^4-2IKL^2\leq0\implies L^2\leq2IK $.
Ora, $ L=\sum mr^2\omega $, $ I=\sum mr^2 $, $ K=\frac{1}{2}\sum mr^2\omega^2 $.
Riscriviamo: $ \left(\sum mr^2\omega\right)^2\leq\left(\sum mr^2\right)\left(\sum mr^2\omega^2\right) $, vera per C-S (woow!
) sulle due $ N $-uple $ \sqrt{mr^2} $ e $ \sqrt{mr^2\omega^2} $.
(ho tralasciato indici ecc, ma si capisce lo stesso!)
Re: Disuguaglianza Fisica
Inviato: 04 apr 2015, 12:54
da simone256
Perfetto tranne per una cosa! Quando esprimi $ K $ come sommatoria tieni conto solo della velocitá tangenziale (quella con $ v=\omega r $) e ti dimentichi della componente radiale. Quindi $ K $ in realtá è maggiore o uguale a quella sommatoria quindi si ha semplicemente una disuguaglianza più larga
Re: Disuguaglianza Fisica
Inviato: 04 apr 2015, 17:32
da GimmyTomas
Hai ragione, per qualche motivo ho mentalmente immaginato solo moti circolari.
Carina, comunque!
Re: Disuguaglianza Fisica
Inviato: 04 apr 2015, 21:53
da simone256
Bomber!
Gimmy oro alle IPhO
Re: Disuguaglianza Fisica
Inviato: 04 apr 2015, 22:55
da GimmyTomas
simone256 ha scritto:Bomber!
Gimmy oro alle IPhO
Sì, certo, tu intanto vedi di non alzare troppo i cutoff a Senigallia. -.-
Re: Disuguaglianza Fisica
Inviato: 12 apr 2015, 23:31
da simone256
GimmyTomas ha scritto:simone256 ha scritto:Bomber!
Gimmy oro alle IPhO
Sì, certo, tu intanto vedi di non alzare troppo i cutoff a Senigallia. -.-
Le ultime parole famose...
Ripeto:
Gimmy oro alle IPhO!!!!
Re: Disuguaglianza Fisica
Inviato: 13 apr 2015, 22:45
da GimmyTomas
simone256 ha scritto:
Le ultime parole famose...
Ripeto:
Gimmy oro alle IPhO!!!!
Sì, invece "Bomba alle IPhO" sembra un attentato...
Btw, li abbiamo alzati entrambi i cutoff!