OliForum Matematico

Siano $ a,b,c $ i lati di un triangolo . Dimostrare che

$ \displaystyle \sum_{cyc} \frac{a}{b+c-a} \ge {3} $

Viene dall'Engel

(le somme sono tutte cicliche)

Moltiplico numeratore e denominatore per $a$:

\[\sum\frac{a^2}{ab+ac-a^2}\ge3\]

Uso il lemma di Titu e ottengo:

\[LHS\ge \frac{(a+b+c)^2}{2\sum ab - \sum a^2}.\]

Ora mi basta dimostrare che

\[\frac{(a+b+c)^2}{2\sum ab - \sum a^2}\ge3 \Rightarrow \sum a^2+2\sum ab \ge 6\sum ab-3\sum a^2.\]

Cioè che:

\[4\sum a^2\ge 4\sum ab,\]

che è vero per bunching. Vabbè ma queste disuguaglianze si fanno tutte con Titu+bunching, diventano noiose

Ovviamente giusta ... Se non é troppo potresti dirmi dove trovo qualcosa sul bunching ? Grazie

Dovresti dire da qualche parte dove/come usi l'ipotesi che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo. Se no rischi il -1.

In effetti lo ho pensato anche io , ma la stima nei confronti dei forumisti mi ha spinto a dire che fosse giusta .... Ad esempio io avevo posto $ a=x+y ,\ b=y+z, \ c=x+z $ con $ x,y,z>0 $

fph ha scritto:Dovresti dire da qualche parte dove/come usi l'ipotesi che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo. Se no rischi il -1.

Mah, uso il fatto che sono positivi per poter usare bunching. Non va bene?

P.S.:

6frusciante9 ha scritto:Ovviamente giusta ... Se non é troppo potresti dirmi dove trovo qualcosa sul bunching ? Grazie

Credo che la scheda A15 delle schede olimpiche spieghi abbastanza, altrimenti un qualsiasi video di A2 del medium del senior, credo

Comunque la tua ultima disuguaglianza ( se non ho fatto confusione con la notazione ) non dovrebbe essere vera anche per riarrangiamento ???

Sì, si fa anche per riarrangiamento. È vera anche per AM-GM, o per somma di quadrati; ma questo non nega che bunching sia più bello.

Beh il riarrangiamento non fa neanche uso dell'ipotesi $ a,b,c>0 $ ...

Talete ha scritto:

fph ha scritto:Dovresti dire da qualche parte dove/come usi l'ipotesi che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo. Se no rischi il -1.

Mah, uso il fatto che sono positivi per poter usare bunching. Non va bene?

No, da qualche parte stai usando che sono i lati di un triangolo... ad esempio, la terna $(1,1,3) $ non va bene nella disuguaglianza, ma tu sembri dimostrare che vale per tutte...
prova a riguardare passaggio per passaggio che ipotesi ti servono per "applicare" certe disuguaglianze

Ah, sì, giusto! Usando Titu, devo dire che $ab+ac-a^2$ e cicliche sono maggiori di $0$, poiché se fosse $ab+ac-a^2\le0$, non potrei applicare Titu: infatti è Cauchy-Schwarz sulle $3$-uple $\{a^2/\sqrt{ab+ac-a^2}\}$ e $\{\sqrt{ab+ac-a^2}\}$, ma se $ab+ac-a^2\le0$, la sua radice non sta in $\mathbb{R}$ e quindi non posso usare Cauchy-Schwarz su numeri in $\mathbb{C}\setminus\mathbb{R}$! Grazie

Talete ha scritto:

fph ha scritto:Dovresti dire da qualche parte dove/come usi l'ipotesi che $a,b,c$ sono i lati di un triangolo. Se no rischi il -1.

Mah, uso il fatto che sono positivi per poter usare bunching. Non va bene?

Esatto, lo usi lì. Ma devi dirlo. Se prendi la tua dimostrazione e ci aggiungi "I denominatori sono positivi per l'ipotesi che a,b,c sono i lati di un triangolo, quindi possiamo usare Titu" va bene.

Ah, ok! Grazie mille!

Si potrebbe fare anche senza Titu e bunching: con la classica sostituzione $ a=x+y $ e cicliche, ottengo
$$\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{a}{b+c-a}=\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{2z}=\frac{1}{2}\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{z}\geq3\implies\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{x+y}{z}\geq6$$
che (come quella originale, in realtà) è omogenea, quindi wlog $ x+y+z=1 $. Sostituisco e ottengo
$$\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{1-z}{z}\geq6\implies\sum_{\mathrm{cyc}}\frac{1}{z}\geq9$$
che è vera per AM-HM su $ (x,y,z) $.

Sì, ok, è vero anche questo Però quando sei a:

\[\sum \frac{x+y}z\ge6\]

Ti basta usare AM-GM sulla sestupla $(x/y,y/z,z/x,x/z,z/y,y/x)$ e chiudi