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Abbiamo $ 2y\equiv 8 \pmod{11} $ovvero $ y\equiv 4 $ (attenzione, qui ho potuto "dividere" solo perché 2 è coprimo con 11) quindi $ y=11k+4 $.
Tornando all'equazione originale $ 11x+(11k+4)13=316 $ cioè $ 11x+143k=264 $ , dividendo per 11 otteniamo $ x+13k=24 $.
Ora k può valere solo 0 o 1 altrimenti LHS risulta troppo grande, $ k=0 $ ci porta alla soluzione $ (x,y)=(24,4) $, $ k=1 $ alla soluzione $ (11,15) $.