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\[P(x)=x(x-13)Q(x)+\frac2{13}(h-k)x+2k+1.\]

Supponiamo $\alpha$ radice intera. Devi avere \[0=\alpha(\alpha-13)n+\frac2{13}(h-k)\alpha+2k+1\hspace{1cm}(\star)\] dove $n=Q(\alpha)$ è intero (perché $P$ ha coefficienti interi, quindi anche $Q$). Innanzitutto notiamo che $\frac2{13}(h-k)\alpha$ dev'essere intero (perché tutto il resto è intero); ed inoltre dato che $h$, $k$ ed $\alpha$ sono interi, $\frac2{13}(h-k)\alpha$ è pari. Dunque guardiamo $\star$ modulo $2$: se $\alpha$ è pari $\alpha-13$ è dispari, e viceversa. Quindi il primo addendo è sempre pari. Anche il secondo è sempre pari, per quanto detto prima; ed inoltre $2k$ è pari. Quindi si dovrebbe avere $0\equiv1\pmod{2}$, che è falso. Quindi $P$ non ha radici intere.

Prendiamo un numero intero $ \alpha $.
Ora abbiamo che se $ \alpha $ è dispari $ P(\alpha) \equiv P(13) \equiv 1 \pmod 2 $
Se invece è pari $ P(\alpha) \equiv P(0) \equiv 1 \pmod 2 $
Perciò il polinomio è sempre dispari, quindi non è mai 0, cioè non esistono radici intere.