OliForum Matematico

Spostato in algebra come richiesto -- EG

Dal KöMaL

Trovare le soluzioni (intere, presumo Nah, complesse, che è più divertente -- EG) al sistema:

\[\left\{\begin{array}{l}
a^2+b^2=13\\
a^3+b^3=35.
\end{array}\right.\]

Prego i più "pro" di non spoilerare subito la risposta... sembra come livello un febbraio facile...

Intere sembra troppo facile; sicuro non siano reali?

Anche a me era sembrato troppo facile, sí... ma non era specificato l'insieme di appartenenza... boh, io di coppie ne avevo trovate due intere, due reali non intere e due complesse non reali... mi sa che chiedeva di trovare tutte queste, allora...

sì, ho trovato un bel modo per trovare tutte le soluzioni complesse, quindi trovate quelle. A questo punto, chiedo ai moderatori di spostare in algebra... Grazie!

P.S.: fare doppio post non è proibito, vero?

Sostituiamo $ S=a+b $ e $ P=ab $.
Si arriva molto facilmente ad avere $ P=\frac{S^2-13}{2} $ e $ S^3-39S+70=0 $, quest'ultima si vede bene con Ruffini che ha come soluzioni $ {S_1,S_2,S_3}={-7,2,5}$, per ognuno di questi valori sostituiamo in $ P=\frac{S^2-13}{2} $ e troviamo i rispettivi $ {P_1,P_2,P_3} $, ora risolviamo tutte le quadratiche $ x^2-S_kx+P_k$ con $k=1,2,3$ e credo abbiamo finito. (Scusate se non ho scritto la soluzione completa ma solo lo scheletro ma è perché sono a scuola dal cellulare )

È corretto, era il mio stesso procedimento Ma come fai a vedere con Ruffini le soluzioni dell'equazione $S^3-39S+70=0$? Cioè, io ne ho trovata una ($5$) e poi ho diviso per $x-5$... c'è un altro metodo più veloce?

Talete ha scritto:È corretto, era il mio stesso procedimento Ma come fai a vedere con Ruffini le soluzioni dell'equazione $S^3-39S+70=0$? Cioè, io ne ho trovata una ($5$) e poi ho diviso per $x-5$... c'è un altro metodo più veloce?

Metodo più veloce non credo...potresti risolvere l'equazione di 3 grado con il metodo che si usa quando manca il termine di secondo (le radici dell'unità) ma è di gran lunga più lungo. Siamo stati fortunati che $S$ era intero va haha