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Trovare tutte le $ f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} $ tale che

$ 2f(x)=f(x+y)+f(x+2y) $

Per ogni x reale e ogni y reale non negativo.

Per curiosità, che intendi per FST? Perché mi sembra di aver già visto questa funzionale qualche tempo fa

"Funzionali Sopra Tutto"

Penso sia http://artofproblemsolving.com/communit ... tion_tests

Beh, una strategia del genere si è vista anche in altre funzionali, magari sono molto simili!
(in questa basta anche solo farsi due conticini ammano)

Funktionsgleichung uber alles!

Kfp ha scritto:Funktionsgleichung uber alles!

*über

Ci provo...

Attento: le ipotesi valgono solo per y non negativo. La (1) ad esempio vale per ogni $y \geq 0$

Ah si scusa non l'ho proprio letto xD

wlog come Giovanni $f(0)=1$.

Ponendo $x\mapsto -y$ otteniamo:
\[f(-y)=\frac{f(y)+1}2 \hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\hspace{1cm} (\star)\]

Ponendo $x\mapsto -2y$ otteniamo:
\[f(-2y)=\frac{f(-y)+1}2 \hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\]

Per $(\star)$ su $y$, sappiamo che:
\[\frac{f(-y)+1}2=\frac{f(y)+3}4 \hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\]

Per $(\star)$ su $2y$, sappiamo che:
\[f(-2y)=\frac{f(2y)+1}2 \hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\]

Dunque:
\[f(2y)=\frac{f(y)+1}2 \hspace{1cm}\forall\ y\in\mathbb{R}.\hspace{1cm}(\ast)\]

Ponendo nel testo $x\mapsto 0$ otteniamo:
\[2=f(y)+f(2y)\hspace{1cm}\forall\ y\ge0.\]

Ora applicando $(\ast)$ otteniamo che $f(y)=1$ per ogni $y\ge0$.

Ora per $(\star)$ otteniamo che $f(-y)=1$ per ogni $y\ge0$.

Dunque la soluzione è la costante $f(x)=1$. Inoltre a causa del wlog iniziale, estendiamo l'insieme delle soluzioni a tutte quelle con $f(x)=k$ con $k\in\mathbb{R}$ costante per ogni $x$ reale.

Verifichiamo che le soluzioni trovate risolvono: è banale ($2k=k+k$).