Chiamiamo "strabellofigapalesewow" un insieme $ \mathbb{A} $ di interi tale che se $x,y \in \mathbb{A} $ allora anche $x^2+kxy+y^2 \in \mathbb{A} $ per ogni $k$ intero.
Determinare tutte le coppie $(m,n)$ tali che l'unico insieme "strabellofigapalesewow" che contiene sia $m$ che $n$ è $ \mathbb{Z} $
Re: 180. "strabellofigapalesewow"
Inviato: 05 giu 2015, 18:49
da karlosson_sul_tetto
$k$ anche intero nullo o negativo?
Re: 180. "strabellofigapalesewow"
Inviato: 05 giu 2015, 19:49
da LucaMac
Si, $k \in \mathbb{Z} $
Re: 180. "strabellofigapalesewow"
Inviato: 05 giu 2015, 20:02
da erFuricksen
Proviamo, sperando di evitare fraintendimenti.
Se non ho capito male la tesi ci chiede tutte le coppie $(m,n)$ t.c. $\mathbb{A}=\mathbb{Z}$.
Beh allora vuol dire che devono esistere $n$ e $n+1$ t.c.
$n^2+kmn+m^2=a$ e $n^2+hmn+m^2=a+1$ per dei certi $k$ e $h$ interi.
Allora per differenza $mn(h-k)=1$ ma siccome tutti e tre i fattori di LHS sono interi allora tutte le coppie possibili sono date dalle combinazioni di $m=\pm 1$ e $n=\pm 1$.
Re: 180. "strabellofigapalesewow"
Inviato: 05 giu 2015, 20:23
da cip999
Mhh, non direi... L'ipotesi ti dice che tutti i numeri della forma $m^2 + kmn + n^2$ sono in $\mathbb{A}$, non l'inverso!
(Per intenderci, appartengono ad $\mathbb{A}$ anche (ad esempio) tutti gli interi che si scrivono come $m^2 +hm(m^2 + kmn + n^2) + (m^2 + kmn + n^2)^2$)
Comunque, posso prendere anche $x = y$, vero?
Re: 180. "strabellofigapalesewow"
Inviato: 05 giu 2015, 20:36
da erFuricksen
Sì ma un conto è quello che dice l'ipotesi, un conto è quello che chiede la tesi!
Quello che intendo io è che se l'unico insieme che può contenere $m,n$ è $\mathbb{Z}$, allora $\mathbb{A}$ deve coincidere esattamente con $\mathbb{Z}$, altrimenti $m,n$ potrebbero essere contenuti in un suo sottoinsieme.
Re: 180. "strabellofigapalesewow"
Inviato: 05 giu 2015, 20:48
da scambret
Odio spassionato per questi nomi di m... agli esercizi
Che bello che l'avevo fatto due settimane fa
Re: 180. "strabellofigapalesewow"
Inviato: 05 giu 2015, 20:59
da LucaMac
è come dice cip999...
Re: 180. "strabellofigapalesewow"
Inviato: 05 giu 2015, 21:00
da EvaristeG
erFuricksen ha scritto:Proviamo, sperando di evitare fraintendimenti.
Se non ho capito male la tesi ci chiede tutte le coppie $(m,n)$ t.c. $\mathbb{A}=\mathbb{Z}$.
Beh allora vuol dire che devono esistere $n$ e $n+1$ t.c.
$n^2+kmn+m^2=a$ e $n^2+hmn+m^2=a+1$ per dei certi $k$ e $h$ interi.
Allora per differenza $mn(h-k)=1$ ma siccome tutti e tre i fattori di LHS sono interi allora tutte le coppie possibili sono date dalle combinazioni di $m=\pm 1$ e $n=\pm 1$.
Dunque, l'assunto da cui tu parti è che TUTTI gli elementi di $\mathbb{A}$ debbano essere ottenuti proprio da $m$ e $n$.
Ma ad esempio potresti costruire, che so, $b=m^2+3nm+n^2$ e poi costruire $b^2-bn+n^2$...
Re: 180. "strabellofigapalesewow"
Inviato: 05 giu 2015, 21:13
da erFuricksen
Ops! Ok, allora ci ridarò un'occhiata
Re: 180. "strabellofigapalesewow"
Inviato: 08 giu 2015, 15:02
da Mountains Drew
"strabellofigapalesewow"... sicuramente era così anche nel testo originale
Soluzione
Testo nascosto:
Risposta: $\mathbb{A}=\mathbb{Z}$ sse $(m,n)=1$
Osserivamo che se $d|m$ e $d|n$ allora posso sostituire a $x$ e a $y$ solo multipli di $d$ quindi $d|x^2+hxy+y^2$,
quindi non mi basta per dire che $\mathbb{A}=\mathbb{Z}$, perchè prendo solo i multipli di $d$.
Se $(m,n)=1$ faccio così:
Sotituisco $x=y=n$ e ottengo che $(h+2)n^2 \in \mathbb{A}$, $\forall h\in \mathbb{Z}$, quindi ho tutti i multipli di $n^2$.
Per lo stesso motivo ho anche tutti i multipli di $m^2$.
Siccome $(n^2,m^2)=1$ avrò anche ottenuto due numeri $a, a+1$ con differenza 1 (Bezout).
