OliForum Matematico

Hola! Premessa: non è un problema olimpico ma un dubbio che mi sono posto cercando di risolvere un esercizio di topologia in un modo geometrico, poi il problema l'ho risolto in un altro modo ma il dubbio è rimasto. Non sapevo per questo se metterlo in MNE o qui, ma visto che di roba non elementare non v'è traccia, almeno nell'enunciato, lo metto qui. Al massimo spostatelo se lo ritenete opportuno.

Siano $a, b, c$ tre rette passanti per l'origine e non tutte su uno stesso piano. Siano $A, A'$ i punti di intersezione della retta $a$ con la superficie sferica di raggio $1$ centrata nell'origine. Siano analogamente $B, B'$ e $C, C'$. Esiste una scelta $A''\in\lbrace A, A'\rbrace$ e analogamente per $B'', C''$ tale che esiste un modo di tagliare la sfera con tre piani ortogonali a due a due e passanti per il centro in modo che $A'',B'',C''$ giacciano su uno stesso ottavo di superficie?

Non l'ho risolto e con la scusa che inizia la sessione di esami non avrò tempo per pensarci, intanto lo metto qua

Direi che sta benissimo qua

Per gli universitari curiosi spiego anche brevemente a cosa servirebbe questo fatto. Dovevo dimostrare che certe funzioni erano distanze su $\mathbb{P}_2$. Quelle funzioni erano definite non in termini di punti del piano proiettivo ma in termini di vettori di $\mathbb{R}^3$ associati. Se il fatto fosse vero, per dimostrare la disuguaglianza triangolare si poterebbbe supporre che i tre punti generici che stiamo condierando sono associati a vettori che stanno su uno stesso ottante, quindi in particolare gli angoli tra due qualsiasi dei vettori sono acuti e tutto diventa più facile.

Mi sembra falsa come cosa, ma probabilmente sto sbagliando
Se prendiamo tre rette complanari passanti per l'origine che dividono il "cerchio massimo" in 6 parti uguali (ovvero c'è un angolo di 60° tra due rette) allora è impossibile dividere la sfera in 8 quadranti uno dei quali contenga tre punti, perché dovrebbe avere un angolo planare al centro di 120°.
Ora, il testo ci chiede che le rette non siano su uno stesso piano, ma posso spostare di poco poco una retta in alto o in basso senza che cambino troppo le distanze reciproche e quindi rendendo impossibile metterle nello stesso quadrante.

Corretto! Ieri ci stavo ragionando in termini di triangoli sferici e l'avevo sopravvalutato ooops Mi toccherà continuare a lavorare con coseni negativi...