OliForum Matematico

"ciclicità, ciclicità ovunque ovunque!"
$BGFC$ ciclico perchè $\angle BFC, \angle BGC$ retti
$AHED$ ciclico per angoli retti...
(volendo anche $BGHA$ e $CFED$ ciclici sempre per angoli retti, ma non serve)

E ora angle chasing (con angoli orientati, quindi conta l'ordine delle lettere)
$\angle GFH \stackrel{\stackrel{adiacenti}{\downarrow} }{=} \angle GFC\stackrel{\stackrel{BGFC cyc}{\downarrow}}{=} \angle GBC= \angle DBC\stackrel{\stackrel{ABCD cyc}{\downarrow}}{=} \angle DAC= \angle DAH \stackrel{\stackrel{AHED cyc}{\downarrow}}{=} \angle DEH\stackrel{\stackrel{adiacenti}{\downarrow}}{=} \angle GEH $

Quindi EFGH ciclico
C.V.D.

$AFEB$ e $CHGD$ ciclici per gli stessi motivi di Mountains Drew.
Sia $K:=AC\cap BD$. Allora valgono
\[
KA\cdot KF=KB\cdot KE\quad\text{e}\quad KC\cdot KH=KD\cdot KG
\]
Moltiplicando membro a membro le due uguaglianze, si ottiene
\[
KA\cdot KF\cdot KC\cdot KH=KB\cdot KE\cdot KD\cdot KG\stackrel{(*)}{\iff} KF\cdot KH=KE\cdot KG
\]
dove la $(*)$ vale perchè per l'ipotesi di ciclicità di $ABCD$ si ha che $KA\cdot KC=KB\cdot KD$. Allora dall'ultima uguaglianza, $EFGH$ ciclico.