OliForum Matematico

Ho svolto il seguente problema appartenente al test d\'ammissione alla Normale del \'97. Non è male, provate a darci un\'occhiata:
<BR>
<BR>\"Per tutti i pianeti del Sistema Solare la principale fonte di energia è costituita dal Sole. La luce emessa dal Sole viene in parte riflessa da ciascun pianeta. L\'energia irraggiata da ciscun pianeta nello spazio è costituita, oltre che dalla luce riflessa, dalla Radiazione di Corpo Nero che trasporta, per unità di tempo, una quantità di energia proporzionale alla superficie del pianeta e alla quarta potenza della sua temperatura assoluta. Supponendo che, per ciascun pianeta, sussista una situazione di equilibrio tra energia assorbita e quella riemessa nello spazio, si dia una stima della temperatura superficiale di Giove e Nettuno, sapendo che essi si trovano a una distanza dal sole rispettivamente 5,2 e 30 volte maggiore della Terra. Si faccia l\'ipotesi che per questi pianeti il raporto tra energia luminosa assorbita e quella riflessa sia simile a quello della Terra.\"
<BR>
<BR>Non servono conoscenze approfondite sulla radiazione di corpo nero per risolverlo.
<BR>
<BR>Sono curioso di vedere i metodi di risoluzione che adotterete perchè secondo me può essercene più di uno.
<BR>
<BR>Se non avete volta di fare troppi calcoli sappiate che non ci sono grandi operazioni da fare.
<BR>
<BR>Ciao a tutti e rispondete numerosi.

l\'ho letto velocemente quindi non ci ho pensato molto... una cosa: posso considerare come nota la temperatura della terra? (~290K)

si puoi. Anch\'io mi sono scervellato inizialmente cercando do capire un modo per risolverlo senza conoscerla ma è stato impossibile. infatti poi ho scoperto che andava considerata la temperatura di c.n cioè 20° C cioè 293°K. Se lo risolvi fammi sapere. Ciao

Premetto che le mie abilita\' fisiche sono ancora limitate quindi potrei avere scritto stupidaggini e/o allungato inutilmente la soluzione.
<BR>
<BR>Dal testo si ha
<BR>P = T^4 * S * k
<BR>da cui
<BR>T = (P/k * 1/S)^(1/4)
<BR>dove P e\' la potenza emessa del pianeta.
<BR>
<BR>Sia ora Ps la potenza emessa dal sole e assumiamo che esso sia sferico ed emetta uniformemente.
<BR>Allora il pianeta assorbira\' energia pari a Ps per il rapporto la superficie della proiezione del pianeta sul sole dal centro del sole e la superficie del sole.
<BR>
<BR>Dunque, assumendo che il pianeta sia sferico,
<BR>P = Ps * superficie_calotta_sferica / superficie_sfera
<BR>ossia
<BR>P = Ps * (2 * pi * Rs^2 * (1 - cos a))/(4 * pi * Rs^2)
<BR>dove e\' l\'angolo tra la retta passante per il centro del sole e del pianeta e quella passante per il centro del sole e il punto di tangenza con il pianeta.
<BR>
<BR>da cui
<BR>P = Ps * (1 - cos a)/2
<BR>
<BR>Se chiamiamo r il raggio del pianeta e d la sua distanza dal sole allora
<BR>cos a = d/sqrt(r^2 + d^2)
<BR>cioe\'
<BR>cos a = 1/sqrt(1 + (r/d)^2)
<BR>
<BR>
<BR>Sostituendo si ottiene
<BR>T = (Ps * (1 - 1/sqrt(1 + (r/d)^2))/2 * 1/k * 1/S)^(1/4)
<BR>
<BR>S = 4r^2pi assumendo il pianeta sferico da cui
<BR>
<BR>T = (Ps/k * (1 - 1/sqrt(1 + (r/d)^2))/2 * 1/(4r^2*pi))^(1/4)
<BR>
<BR>Se si conoscono i raggi e i tutti i dati della Terra allora questo e\' direttamente applicabile.
<BR>
<BR>Altrimenti occorre approssimare: osserviamo che r/d e\' molto piccolo e ne trascuriamo quindi le potenze superiori al quadrato.
<BR>
<BR>Espandiamo quindi in serie (t = (r/d)^2):
<BR>1/sqrt(1 + (r/d)^2) = (1 + t)^(-1/2) =
<BR>1 - 1/2 * t + O(t^2)
<BR>
<BR>Sostituendo:
<BR>T = (Ps/k * (1 - 1 + 1/2 * t)/2 * 1/(4r^2*pi))^(1/4)
<BR>T = (Ps/k * 1/2 * t/2 * 1/(4r^2*pi))^(1/4)
<BR>T = (Ps/k * 1/2 * r^2/d^2/2 * 1/(4r^2*pi))^(1/4)
<BR>T = (Ps/k * 1/(16d^2*pi))^(1/4)
<BR>
<BR>T = (Ps/k * 1/(16*pi))^(1/4) * 1/sqrt(d)
<BR>
<BR>Infine
<BR>(Ps/k * 1/(16*pi))^(1/4) = T_terra * sqrt(d_terra)
<BR>
<BR>T_pianeta = T_terra * sqrt(d_terra/d_pianeta)
<BR>

La soluzione è giusta. Alla fine sostituendo i dati si trova la temperatura. Ho notato che inizialmente hai considerato la calotta sferica come superficie di incidenza della luce emessa dal sole. Di solito in questo tipo di problema si usa semplicemente la sezione Pi*r^2. Comunque sia i dati che si aveva a disposizione erano solo quelli del problema e il fatto che la Terra fosse a 20°C, quindi è corretta la tua ultima risposta. Per il resto è tutto ok, complimenti
<BR>
<BR>Ciao alla prossima

mmm...interessante...
<BR>io l\'ho risolto così(anche se penso che tutte le sol. siano sostanzialmente identiche)
<BR>
<BR>l\'en. assorbita dev\'essere uguale a quella emessa da un pianeta, altrimenti la sua temp. non può essere costante.
<BR>
<BR>sia E_sole la potenza del sole.
<BR>di questa energia, quella che colpisce un pianeta sarà
<BR>S_pianeta/4(D_pianeta²pi)
<BR>da cui
<BR>Emittanza*S_pianeta/4(D_pianeta²pi)*E_sole=S_pianeta*t⁴*emittanza*cost.planck
<BR>da cui otteniamo che
<BR> t⁴*D_pianeta² è costante e quindi lo è anche
<BR>t²*D_pianeta che è la relazione trovata da LB
<BR>
<BR>con emittanza si intende il rapporto tra (E_emessa/assorbita)/E_ricevuta
<BR>
<BR><BR><BR>[ Questo Messaggio è stato Modificato da: Biagio il 30-12-2003 13:27 ]

Anche io l\'ho risolto come Biagio...
<BR>Solo una cosa, invece della cost.planck che hai utilizzato non andrebbe usata la cost di Stefan-Boltzman?
<BR>Ciao a tutti!
<BR>

Ciao sono biagio, me ne sono accorto ma non avevo voglia di entare col mio nick da un altro pc per modificarlo

Ok, cmq bel problema...

ecco da dove escono i 2800mess, parecchi hanno 2 nick............vabbè così se ne giustificheranno un 200-300 e gli altri???[addsig]