Sia $\phi$ la solita roba. Trovare gli $n\in\mathbb{N}$ tali che
\[n=\phi(n)+402.\]
È bello, non è neanche tanto difficile (ce l'ho fatta pure io ). Bisogna andarci giù pesante di stime (almeno nella mia soluzione)...
È il problema N1 del Winter Camp 2010, ma non so se provenga da qualche gara (tipo olimpiadi iraniane) oppure no
Re: Equazione bella con la $\phi$ di Euler
Inviato: 08 lug 2015, 16:29
da gpzes
..propongo qualcosa condividendo bellezza di Talete
$n$ NON può essere dispari, $\sqrt{n}\le 402$, $n=2\cdot 401$ (forse unico valore..)..
Re: Equazione bella con la $\phi$ di Euler
Inviato: 08 lug 2015, 16:32
da Talete
Be', non posso dirti niente di male ma...
Testo nascosto:
$\sqrt n\le 402$ può essere sistemata parecchio, come stima... per esempio con $n/2\le 402$...
Testo nascosto:
Mi spiace per te ma $802$ non è l'unica soluzione
Testo nascosto:
gpzes ha scritto:bellezza di Talete
Lo so che sono bello, grazie
Re: Equazione bella con la $\phi$ di Euler
Inviato: 08 lug 2015, 16:40
da gpzes
C.S...Come Sospettavo.. si la stima è rozza ..cercavo di bypassarle..allora ci penso un po' di più..
..Bellezza per via assiomatica ehh
Re: Equazione bella con la $\phi$ di Euler
Inviato: 08 lug 2015, 16:53
da Talete
Be', magari posta una specie di ragionamento... comunque le soluzioni non sono moltissime... almeno, scrivo un paio di hint "veri" questa volta... non bruciarli tutti subito, però
Testo nascosto:
Sia $p$ un primo che $p^2\mid n$... cosa possiamo dire di $p$? Ad esempio, può essere $25\mid n$? O $49\mid n$?
Testo nascosto:
Cosa succede se $4$ divide $n$? Perché questo caso lo possiamo escludere praticamente subito?
Testo nascosto:
Quindi $2$ divide strettamente $n$... e se $67$ divide $n$, allora qualche altro primo deve per forza dividere $n$? Ci si riconduce ad un paio di casi...
Testo nascosto:
Quindi $2$ divide strettamente $n$, $67$ non divide $n$... posso scrivere $n=2\cdot 3^a\cdot d$ con $d$ dispari libero da quadrati (perché?)... e ora distinguiamo in casi rispetto ad $a$ e guardiamo quanti primi ha al massimo $d$ usando una buona stima... e qui hai praticamente finito (ci sono solo tanti casi da fare )
Re: Equazione bella con la $\phi$ di Euler
Inviato: 08 lug 2015, 17:12
da gpzes
ehh sisi..mi hai preceduto per un soffio
Sia $n={{2}^{r}}\cdot Q,\quad (2;Q)=1$…poi cerco di scrivere tutto..era strada che avevo intrapreso per trovare $2\cdot401$..
). Bisogna andarci giù pesante di stime (almeno nella mia soluzione)... 
..propongo qualcosa condividendo bellezza di Talete 
