OliForum Matematico

Sperando di fare cosa gradita (e anche di ridimensionare il probabile esodo verso AoPS ), ripropongo qui [una traduzione dei testi de] i problemi che i Sei Virtuosi hanno affrontato oggi.

Ecco il primo.
Diciamo che un insieme finito $\mathcal{S}$ di punti nel piano è equilibrato se, per due qualsiasi punti distinti $A$ e $B$ in $\mathcal{S}$, esiste un punto $C$ in $\mathcal{S}$ tale che $AC=BC$.
Diciamo che $\mathcal{S}$ è eccentrico se, per tre qualsiasi punti distinti $A$, $B$ e $C$ in $\mathcal{S}$, non esiste alcun punto $P$ in $\mathcal{S}$ tale che $PA=PB=PC$.
(a) Mostrare che per tutti gli interi $n\ge 3$ esiste un insieme equilibrato costituito da esattamente $n$ punti.
(b) Determinare tutti gli interi $n\ge 3$ per i quali esiste un insieme equilibrato ed eccentrico costituito da esattamente $n$ punti.

Andrà in Combinatoria?

Una domanda:
Nel punto 2 pensavo al fatto che, se ho tre punti distinti in S, l'unico caso in cui l'insieme non è eccentrico è quello in cui ho anche il centro della circonferenza passante per i tre punti che appartiene a S.
O sbaglio?

Non mi sembra sia così.
Se ho capito bene, tu intendi che un insieme $\mathcal{S}$ non è eccentrico se e solo se per ogni terna di punti anche il centro della circoscritta appartiene a $\mathcal{S}$, mentre se non sbaglio, un insieme $\mathcal{S}$ non è eccentrico se e solo se esistono almeno tre punti distinti $A$, $B$, $C$ in $\mathcal{S}$ tali che esista $P\in\mathcal{S}$ che soddisfi $AP=BP=CP$.
Dovrebbe bastare che valga per una terna di punti, non per ogni (a patto che io abbia capito giusto il testo ).

Giusto! Errore mio

Problema troppo facile per le IMO, come si fa a non farlo!

Punto a