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Pongo questa questione per pura curiosità dato che ne ho sentito parlare spesso.
Nelle equazioni di Cauchy sappiamo che la famosa soluzione in R $ f(x)=ax $ vale solo con determinate condizioni, altrimenti esistono anche delle altre soluzioni, che senso sempre chiamare soluzioni "brutte".
Ero curioso quindi di sapere: qualcuno riesce a mostrarmi queste fantomatiche soluzioni brutte, con formula e/o grafico?

Allora, le soluzioni brutte le costruisci con le basi di Hamel, ma so molto poco su questo argomento, tempo fa mi ero imbattuto in un articolo e avevo letto che soluzioni sono funzioni discontinue, non misurabili, illimitate in un intervallo aperto, il grafico interseca ogni linea del piano ecc.. spero aiuti

Il grafico sarebbe un quadratone tutto nero, o perlomeno grigio (perché la funzione passa dentro ogni quadratino arbitrariamente piccolo del piano). La formula anche non si può esplicitare più di tanto. Esistono degli insiemi infiniti, chiamati basi di Hamel, tali per ognuno di essi (che chiamiamo $B$) ogni reale $x$ si scrive in uno e un solo modo come $x=\sum_{i=1}^n q_i b_i$, dove i $q_i$ sono razionali e i $b_i$ stanno in $B$. Allora, per ogni $b\in B$ scegli un'immagine $f(b)$, e definisci $f(x)=\sum_{i=1}^n q_i f(b_i)$. È ben definito perché la scrittura è unica. C'è una formula per trovare gli elementi di questo insieme $B$, o un modo esplicito di descriverli? No, e anzi si dimostra che non può esserci.

fph ha scritto:$ ...f(x)=\sum_{i=1}^n q_i f(b_i) $...

Curiosità: $n$ cosa indica?

Scritto meglio di quanto ho fatto qui sopra: "per ogni reale $x$, esistono unici $n\in\mathbb{N}$, $q_1,q_2,\dots,q_n \in\mathbb{Q}$, $b_1,b_2,\dots,b_n\in B$ (a meno di riordinarli) tali che $x=\sum_{i=1}^n q_i b_i$".

Grazie

Questo però forse può aiutarti a visualizzare la cosa. Scegli dei reali "indipendenti su $\mathbb{Q}$", cioè un insieme di reali $B$ per cui non esistono $n,q_i,b_i$ come sopra tali che $\sum_{i=1}^n q_i b_i=0$. Per esempio, $B=\{1,\sqrt{2},\pi\}$ va bene, mentre $B = \{1,\sqrt{2}, \frac{5-\sqrt{2}}{3}\}$ non va bene perché riesci a ottenere zero combinandoli. Allora, puoi scegliere le immagini degli elementi di $B$ a tuo piacere, per esempio $f(1)=17.3$, $f(\sqrt{2})=0$, $f(\pi)=2\pi$. Questo ti dice automaticamente com'è fatta $f$ su un sacco di altri elementi, per esempio $f(\frac{5}{2}+\frac{3}{7}\sqrt{2})-\frac{39}{42}\pi) = \frac{5}{2}f(1) + \frac{3}{7}f(\sqrt{2})-\frac{39}{42}f(\pi)$. In particolare, la tua $f$ si comporta come tre rette con coefficienti angolari diversi sui multipli razionali di $1$, di $\sqrt{2}$ e di $\pi$. Ebbene, c'è sempre un modo di estendere le $f$ fatte in questo modo a tutto $\mathbb{R}$ (credici).