OliForum Matematico

Trovare tutti i primi $p,q$ tali che $p^2+1\mid 2003^q+1$ e $q^2+1\mid 2003^p+1$.

Il problema ha come unica soluzione $ (p,q)=(2,2) $?

Se wlog $p=2$ allora ci basta $q^2+1|2003^2+1$ da cui (con Wolfram Alpha ) $q=2,3,2003$.

Supponiamo $p \le q$ dispari.

Sia $r$ un primo che divide $p^2+1$. Allora $r|2004 \cdot \frac{2003^q+1}{2004}$, da cui $r=2,3,167$ oppure $q|r-1$ (poiché $ord_r(2003)|2q$). Chiaramente $r \not = 3,167$, poiché $r|p^2+1$. Perciò $r=2$ o $q|r-1$. Inoltre $v_2(p^2+1)=1$, perciò $p^2+1=2r_1...r_m$. Ma $r_i \ge q+1 \ge p+1$, quindi $p^2+1 \ge 2(p+1)^m$, da cui $m=0$ (assurdo) o $m=1$. Pericò $p^2+1=2r$, dove $r$ è primo e $q|r-1$.

Ma allora $q|2r-2=p^2-1$, da cui $q|p-1$ (assurdo, poiché $q>p-1$) o $q|p+1$, ma $2|p+1$, quindi $q|\frac{p+1}{2}$, da cui $\frac{p+1}{2} \ge q \ge p \rightarrow p \le 1$: assurdo. Perciò vanno bene solo $(2,2);(2,3);(2,2003)$.

... $(p,q)=(2,3);(2,2003)$..non soddisfano $5/2003^q+1$...forse ho letto male.si intende che $p$ è sempre 2 ?!?

@jordan Già non sono capace ma qui Non mi fai dormire!!

Ma questi problemi mi ricordano anche l'ultimo IMO 2015 Pb. 2...qualcuno dice che sono tecniche standard ma sinceramente sono ignorante
Vedo sempre che si cerca di limitare il range di qualche variabile...ma non c'è una teoria generale ??
http://artofproblemsolving.com/communit ... f_integers

gpzes ha scritto: ... $(p,q)=(2,3);(2,2003)$..non soddisfano $5/2003^q+1$...forse ho letto male.si intende che $p$ è sempre 2 ?!?

@jordan Già non sono capace ma qui Non mi fai dormire!!

Ma questi problemi mi ricordano anche l'ultimo IMO 2015 Pb. 2...qualcuno dice che sono tecniche standard ma sinceramente sono ignorante
Vedo sempre che si cerca di limitare il range di qualche variabile...ma non c'è una teoria generale ??
http://artofproblemsolving.com/communit ... f_integers

Hai ragione! Effettivamente $5$ non divide $2003^p+1$ in quel caso