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Fissiamo un sistema di coordinate cartesiane a caso, con centro in $G$. Esiste un'unica affinità $\mathcal{F}$ che porta $ABC$ nel triangolo equilatero $(1,0)$, $(\cos(2\pi/3), \sin(2\pi/3))$, $(\cos(4\pi/3), \sin(4\pi/3))$; del resto, il baricentro è invariante per affinità, quindi $G$ va nel baricentro del triangolo equilatero detto, che è $(0,0)$. Dunque $G$ rimane fermo.
Ora, $G$ è anche ortocentro del nuovo triangolo. I suoi simmetrici rispetto ai punti medi dei lati di $ABC$ vanno tramite $\mathcal{F}$ nei simmetrici di $G$ rispetto ai punti medi dei lati dell'equilatero.
Quindi $A$, $B$, $C$, $S$, $T$, $U$ vanno, in qualche ordine, nei punti $(\cos(k\pi/3), \sin(k\pi/3))$ con $k=0,\ldots, 5$. Tali punti stanno sulla circonferenza unitaria e la controimmagine di una circonferenza di centro l'origine tramite un'affinità che fissa l'origine è un'ellisse di centro l'origine.
Infine, il coniugato isotomico è un concetto invariante per affinità; il coniugato isotomico e il coniugato isogonale coincidono in un triangolo equilatero e dunque il coniugato isotomico dell'ellisse è la controimmagine tramite affinità del coniugato isogonale della circoscritta. Quest'ultimo è la retta all'infinito che è fissata da ogni affinità. Dunque il coniugato isotomico dell'ellisse suddetta è la retta all'infinito.