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Determinare i naturali $ m n $ tali che
$ 5^{m} - 2^{n} = 1 $

Osservo che $(1,2)$ è una soluzione, ora pongo $n\ge3$ e analizzo $mod 8$.
Devo avere che $5^m\equiv 1 \pmod{8}$ e ciò si ha (basta provare) solo quando $m$ è pari, quindi pongo $m=2h$
Riscrivo tutto come $2^n=5^2h -1= (5^h+1)(5^h-1)$. Ho però che il MCD tra i due fattori di destra è $2$ e poichè entrambi devono essere delle potenze di due l'unico caso in cui la differenza di due potenze di due è 2 è con $4$ e $2$ che però non porta a soluzioni.

Io l'ho risolto così: scrivo l'equazione come
$ 5^{m} = 1 + 2^{n} $
Sviluppo LHS e ottengo
$ 5^{m} = (4 + 1)^{m} = 4^{m} - 4^{m - 1} + . . . - 4 +1 $
Quindi si ha che
$ 4^{m} - 4^{m - 1} + . . . - 4 + 1 = 1 + 2^{n} $
Da cui
$ 4^{m} - 4^{m - 1} + . . . - 4 = 2^{n} $
Osservando il LHS ci si accorge che la massima potenza di 2 che lo divide è 4 e quindi 4 deve essere la massima potenza di 2 che divide anche $ 2^{n} $
Quindi si può scrivere che $ 2^{n} = 4 \rightarrow n = 2 $
Da cui, sostituendo nell equazione di partenza, deduciamo che $ m = 1 $.
L'unica soluzione è pertanto $ m = 1, n = 2 $

Euler271 ha scritto: $ 5^{m} = (4 + 1)^{m} = 4^{m} - 4^{m - 1} + . . . - 4 +1 $

Diamine che erroraccio mi scuso della svista
Evidentemente $ (4 + 1)^{m} = 4^{m} + . . . + m 4 + 1 $

Eh ma devi tenere conto del binomio di Newton (se lo hai fatto non é molto chiaro da come lo hai scritto)...