Geometria!

Shoma85 · Messaggio da **Shoma85** » 01 gen 1970, 01:33

A0B0C0 è un triangolo. P un punto, si tracciano le perpendicolari da P a
 A0B0 B0C0 C0A0, i peidi delle perpendicolari sono A1 B1 C1, si ripete il procedimento. Per quali n AnBnCn è simile a A0B0C0.

Shoma85 · Messaggio da **Shoma85** » 01 gen 1970, 01:33

ihsahn · Messaggio da **ihsahn** » 01 gen 1970, 01:33

<TABLE BORDER=0 ALIGN=CENTER WIDTH=85%><TR><TD>Quote:<HR></TD></TR><TR><TD><BLOCKQUOTE>
 A0B0C0 è un triangolo. P un punto, si tracciano le perpendicolari da P a
 A0B0 B0C0 C0A0, i peidi delle perpendicolari sono A1 B1 C1, si ripete il procedimento. Per quali n AnBnCn è simile a A0B0C0.
 </BLOCKQUOTE></TD></TR><TR><TD><HR></TD></TR></TABLE>
 
 So rispondere solo se P è interno al triangolo, se è esterno non saprei...
 (indico con ABC l\'angolo in B)
 
 Congiungiamo il punto P a ognuno dei vertici del triangolo, dividendo quindi ogni angolo in due. Chiamo per comodità CAP=a, BAP=b, ACP=c, BCP=d, CBP=e, ABP=f, di modo che A = a+b, C=c+d, B=e+f.
 Dato che PB\'A e PC\'A sono retti, il poligono B\'PC\'A è inscrivibile in una circonferenza, dato che la somma di angoli opposti vale pi. Quindi PB\'C\' = b e C\'B\'P = a, dato che insistono sullo stesso di arco di circonferenza. Ragionando allo stesso modo con gli altri 2 poligoni ottengo:
 A\'B\'C\' = b + d, B\'C\'A\' = a + e, C\'A\'B\' = c + f.
 Tracciamo le nuove perpendicolari ai lati e ragioniamo come fatto prima. Otterremo che
 A\'\'B\'\'C\'\'= a + c, B\'\'C\'\'A\'\' = b+f, C\'\'A\'\'B\'\' = d +e
 Ripetiamo come prima:
 A\'\'\'B\'\'\'C\'\'\'= a + b, B\'\'\'C\'\'\'A\'\'\'=c + d, C\'\'\'A\'\'\'B\'\'\' = e + f
 Quindi i triangoli ottenuti dopo 3n iterazioni sono simili al triangolo iniziale.

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

Che bello!!! Si generalizza!!!
 
 Fate la stessa cosa con un poligono di n lati, cioè prendete un punto P e tracciate le perpendicolari a ogni lato e poi unite i piedi delle perpendicolari (costruite il poligono pedale rispetto al punto P). Dopo quante iterazioni otterrete un poligono simile a quello di partenza??
 
 PS: sono dannatamente ubriaco, quindi non pretendete che ci abbia azzeccato proponendo la generalizzazione...anche se mi sembra che fili...(hic!) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_biggrin.gif">

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

ora penso che la sbronza ti sia passata, allora com\'è questa generalizzazione?

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

[mode bocconi ON]
 
 visto che per un triangolo la similitudine si ha dopo 3n iterazioni, per un p-agono si otterrà dopo pn iterazioni (n naturale)
 
 [mode bocconi OFF]
 
 (-ReKaio copyright- per la battuta) <IMG SRC="images/forum/icons/icon_wink.gif"> [ Questo Messaggio è stato Modificato da: talpuz il 05-01-2004 18:54 ]

psion_metacreativo · Messaggio da **psion_metacreativo** » 01 gen 1970, 01:33

dimostrazione di questa generalizzazione o la prendo come valida e basta?

talpuz · Messaggio da **talpuz** » 01 gen 1970, 01:33

sinceramente ti consiglio di NON prenderla come valida...

Messaggio da **EvaristeG** » 01 gen 1970, 01:33

[mode SBRONZA ON]
 
 Giusto!!!! Dimostratelo!!!!
 
 [mode SBRONZA OFF]
 
 PS: stasera sono solo moderatamente brillo e confermo la generalizzazione.
 Ovvio che per un n-agono ci vorranno n iterazioni, altrimenti che generalizzazione figa è??
 Quello che volevo era che qualcuno partorisse una dimostrazione generalizzata...ma forse dal mio precedente post etilico non si capiva.

J4Ck202 · Messaggio da **J4Ck202** » 01 gen 1970, 01:33

Si, tutto giusto. Prendiamo un punto P all\'interno di un poligono di
 n vertici A[1], A[2], ... , A[n]. Congiungiamo il punto P con i vertici,
 dividendo ogni angolo del poligono in due parti. Diamo un nome
 a queste parti :
 
 l\'angolo in A[1] viene diviso in alfa[1,1] e alfa[1,2]
 l\'angolo in A[2] viene diviso in alfa[2,1] e alfa[2,2]
 eccetera eccetera (numerazione della seconda coordinata
 di alfa ordinata in senso antiorario)
 
 Ora chiamiamo S il ciclo che porta la n-upla (1,2,..,n-1,n) in
 (2,3,..,n,1) e T il ciclo inverso che porta (1,2,..,n-1,n) in
 (n,1,..,n-2,n-1).
 
 Proiettando P sui lati del poligono andiamo a determinare
 dei quadrilateri ciclici, dunque non è difficile determinare
 quali siano gli angoli del poligono pedale che \"vedono\" P.
 Chiamiamo B[1], B[2], .., B[n] i vertici del poligono pedale,
 l\'angolo in B[1] verrà diviso da PB[1] in due parti, che guarda
 caso chiamiamo beta[1,1] e beta[1,2]. Idem per l\'angolo in
 B[2] che verrà diviso in beta[2,1] e beta[2,2]. Ora, per quanto
 detto sui quadrilateri ciclici, vale questa simpatica relazione
 
 beta[ i , 1 ] = alfa[ T(i) , 1 ]
 beta[ i , 2 ] = alfa[ S(i) , 2 ]
 
 il che ci assicura che dopo esattamente n iterazioni otteniamo
 un poligono simile a quello di partenza, visto che l\'ordine di
 S (e pure di T, che è l\'inversa) nel gruppo delle permutazioni
 di n elementi è esattamente n.
 [ Questo Messaggio è stato Modificato da: J4Ck202 il 13-02-2004 11:51 ]