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Sia $S_k$ la probabilità che la mosca atterri sul pavimento dopo $k$ mosse partendo dal soffitto. Si definiscano analogamente $P_k$ (partenza dal pavimento) e $L_k$ (partenza da una parete laterale qualsiasi). Allora valgono le relazioni:
$$\begin{cases} S_k = \frac{1}{5}S_{k - 1} + \frac{4}{5}L_{k - 1} \\ P_k = \frac{1}{5}P_{k - 1} + \frac{4}{5}L_{k - 1} \\ L_k = \frac{1}{5}S_{k - 1} + \frac{1}{5}P_{k - 1} + \frac{3}{5}L_{k - 1} \end{cases}$$
Sottraendo la seconda dalla terza ricaviamo
$$L_k - P_k = \frac{1}{5}S_{k - 1} - \frac{1}{5}L_{k - 1} \qquad (\star)$$
Dalla terza, shiftando gli indici, si ha $P_k = 5L_{k + 1} - S_k - 3L_k$ e, sostituendo in $(\star)$:
$$4L_k = 5L_{k + 1} - S_k + \frac{1}{5}S_{k - 1} - \frac{1}{5}L_{k - 1}$$
da cui
$$25L_{k + 2} - 20L_{k + 1} - L_k - 5S_{k + 1} + S_k = 0 \qquad (\blacklozenge)$$
Dalla prima otteniamo una scrittura di $L_k$ in funzione di $S$: $L_k = \frac{5}{4}S_{k + 1} - \frac{1}{4}S_k$. Sostituendo quest'ultima in $(\blacklozenge)$ (shiftando opportunamente gli indici) ricaviamo infine
$$25S_{k + 3} - 25S_{k + 2} - S_{k + 1} + S_k = 0 \qquad (\lozenge)$$
Da qui in poi è tutta teoria standard sulle successioni per ricorrenza lineari. L'equazione caratteristica associata a $(\lozenge)$ è
$$25x^3 - 25x^2 - x + 1 = 0 \Leftrightarrow (x - 1)(5x - 1)(5x + 1) = 0$$
le cui radici sono $1$ e $\pm \frac{1}{5}$. Si ha dunque $S_k = \lambda + \mu\left(\frac{1}{5}\right)^k + \nu\left(-\frac{1}{5}\right)^k$ per opportune costanti $\lambda$, $\mu$ e $\nu$ che ora determiniamo nel solito modo. Troviamo a mano che $S_0 = S_1 = 0$, $S_2 = \frac{4}{25}$, da qui impostiamo il sistema
$$\begin{cases} \lambda + \mu + \nu = 0 \\ \lambda + \frac{1}{5}\mu - \frac{1}{5}\nu = 0 \\ \lambda + \frac{1}{25}\mu + \frac{1}{25}\nu = \frac{4}{25} \end{cases}$$
che ha soluzione $\lambda = \frac{1}{6}$, $\mu = -\frac{1}{2}$, $\nu = \frac{1}{3}$.
Dunque la probabilità cercata è $\displaystyle S_k = \frac{1 - 3\left(\frac{1}{5}\right)^k + 2\left(-\frac{1}{5}\right)^k}{6}$.

$s_k$:= probabilità che la mosca alla k-esima mossa atterri sul soffitto (sempre partendo dal soffitto)
$p_k$:= probabilità che la mosca alla k-esima mossa atterri sul pavimento (sempre partendo dal soffitto)
$m_k$:= probabilità che la mosca alla k-esima mossa atterri su uno dei muri laterali (sempre partendo dal soffitto)
sapendo che per ovvi motivi $p_k+m_k+s_k = 1 $, le ricorrenze (che ci interessano) sono
$$ \begin{cases}
s_{k+1} = \frac15 m_k + \frac15 s_k=\frac15 (m_k+s_k)= \frac15 (1-p_k) \\
p_{k+1} = \frac15 m_k + \frac15 p_k =\frac15 (m_k+p_k)= \frac15 (1-s_k)\\
\end{cases}$$
sostituendo la prima nella seconda (shiftando gli indici) si ha $p_{k}=\frac15 \left(1- \frac15 (1-p_{k-2})\right) = \frac1{25}p_{k-2}+\frac4{25}$
Quindi la ricorrenza è di 2 in 2 e $p_0=p_1=0$ ed è una semplice ricorrenza lineare con dipendenza da un solo termine.
Quindi con qualche passaggio si ottiene $ p_{2n}=p_{2n+1}= \frac{1-\left(\frac15\right)^{n}}{6}$, quindi
$$ p_{k}= \frac{1-\left(\frac1{25} \right)^{\lfloor \frac k2 \rfloor}}{6} $$