OliForum Matematico

Sia $ABCD$ un quadrilatero ciclico. La circonferenza $\Gamma_1$ passa per $A$ e $B$ ed è tangente al lato $CD$ nel punto $E$. La circonferenza $\Gamma_2$ passa per $B$ e $C$ ed è tangente al lato $DA$ nel punto $F$. La circonferenza $\Gamma_3$ passa per $C$ e $D$ ed è tangente al lato $AB$ nel punto $G$. La circonferenza $\Gamma_4$ passa per $D$ ed $A$ ed è tangente al lato $BC$ nel punto $H$. Dimostrare che le rette $EG$ ed $FH$ sono perpendicolari.

Chiamiamo $AB\cap CD:=X$, $BC\cap DA:=Y$, $K:=EG\cap FH$ e $\Gamma_0$ il cerchio circoscritto ad $ABCD$. Giocherellando con le potenze dei punti calcolate da $X$ e da $Y$ rispetto alle circonferenze $\Gamma_i$ si ottengono abbastanza facilmente le uguaglianze

$$XE^2=XA\cdot XB=XC\cdot XD=XG^2\Rightarrow XE=XG$$
$$YF^2=YB\cdot YC=YA\cdot YD=YH^2\Rightarrow YF=YH$$
Dunque $\triangle XEG$ e $\triangle YFH$ sono isosceli sulle basi $EG$ e $FH$. Chiamati ora $\angle DAB:=\alpha$ e cicliche, cerchiamo di ricavare gli angoli alla base di questi due triangoli:
$$\angle XEG\cong \angle XGE\cong \frac{180-\angle AXD}{2}\cong \frac{180-(180-\alpha-\delta)}{2}\cong \frac{\alpha+\delta}{2}$$
$$\angle YFH\cong \angle YHF\cong \frac{180-\angle BYA}{2}\cong \frac{180-(180-\alpha-\beta)}{2}=\frac{\alpha+\beta}{2} $$
Guardando ora il quadrilatero $AGKF$, sappiamo che la somma dei suoi angoli interni deve dare $360$, ma allora
$$360\cong \alpha+\left(180-\frac{\alpha+\delta}{2}\right)+\left(180-\frac{\alpha+\beta}{2}\right)+\angle EKF\Rightarrow \angle EKF\cong \frac{\beta+\delta}{2}$$
Ma $\beta$ e $\delta$ sono angoli opposti di un quadrilatero ciclico, dunque la loro somma è un angolo piatto! Dividendo per due otteniamo che $\angle EKF$ è retto, ossia la tesi.

La soluzione mi sembra corretta, ma (per chi può capirmi) non notate nulla di familiare nel testo?

Lol sì che trovo qualcosa di familiare... anche troppo!

@Lasker: non per fare l'infame ma non mettendo il caso $ABCD$ trapezio forse ti saresti unito alla sfilza di 6 che si presentò due anni fa

Ma no, era sul piano proiettivo

Anzi, soluzione figa:
$A=[1,0,0]$, $B=[0,1,0]$, $C=[0,0,1]$ e $D=[1,1,1]$ (non sono baricentriche...)
Chiamo $E:=AB\cap CD$, $F:=AD\cap BC$.
Applico una proiettività che manda la retta $EF$ nella retta all'infinito.
Questa proiettività manda $ABCD$ in un rombo.
A meno di affinità, $ABCD$ va in un quadrato.
Adesso, i punti di tangenza sono i quattro punti medi dei lati del quadrato.
Win.
E in gara non l'ho fatto... cioè, questa soluzione mi è venuta in un (1) minuto.
Vado a piangere.

@Federico: Beh, ma scusa, il caso che dici è veramente very trivial, cioè trapezio inscrittibile=trapezio isoscele e da qui la tesi mi sembra piuttosto ovvia (la figura ha un evidentissimo asse di simmetria)... comunque non credo di aver mai sgamato un problema di configurazione, soprattutto quando danno casi semplificati rispetto al problema generale tendo a dimenticarmi della loro esistenza.

Se mi togli un punto per questo per correttezza devi anche darlo a quelli che dimostrano la tesi solo con $ABCD$ trapezio

@Talete: mi sento ignorante, non capisco quello che fai

@Lasker: faccio cose sporche proiettive che non sono sicure che siano legali... in poche parole, assumo wlog $ABCD$ un quadrato e spiego perché posso farlo facendo un paio di trasformazioni del piano. Non sono però sicurissimo, mi ricordo di aver visto un video di Sam che spiega queste cose...

Non mi sembra grave non mettere il caso del trapezio, ma la classifica del PreIMO 2013 (22 partecipanti) conta due 7, otto 6 e dodici 0 su questo problema. Se non così come si spiegherebbe la presenza di tutti quei 6? A parte che anche gli 0 non me li spiego molto bene, visto il livello del problema... comunque, domanda rivolta soprattutto ai Senioristi (ma anche a chiunque sappia di cosa sto parlando e voglia esprimere la sua opinione): cosa ne pensate del fatto che questo problema sia uscito al test finale come dimostrativo "nuovo"? Se si ricicla un problema uscito appena due anni fa, mi sembra inevitabile che qualcuno l'abbia già visto, e infatti così è successo. Io la soluzione non la conoscevo, e poi il caso ha voluto che fosse proprio il dimostrativo che ho saltato per mancanza di tempo, ma ricordavo di aver già letto il testo da qualche parte (ma senza aver provato a risolverlo e senza aver visto la soluzione).

@Talete: a parte varie imprecisioni, il fatto è che una proiettività non mantiene gli angoli, quindi anche se tu dimostri che è retto in una certa configurazione, non puoi dirlo per tutte applicando una proiettività
Inoltre credo che l'angolo nel quadrato finale non sia retto, anche perché le circonferenze tangenti vanno in ellissi, che credo essere abbastanza a caso...

Ecco, sembrava troppo facile...

Federico II ha scritto:comunque, domanda rivolta soprattutto ai Senioristi (ma anche a chiunque sappia di cosa sto parlando e voglia esprimere la sua opinione): cosa ne pensate del fatto che questo problema sia uscito al test finale come dimostrativo "nuovo"? Se si ricicla un problema uscito appena due anni fa, mi sembra inevitabile che qualcuno l'abbia già visto, e infatti così è successo. Io la soluzione non la conoscevo, e poi il caso ha voluto che fosse proprio il dimostrativo che ho saltato per mancanza di tempo, ma ricordavo di aver già letto il testo da qualche parte (ma senza aver provato a risolverlo e senza aver visto la soluzione).

Non sono un "Seniorista", ma mi sento parzialmente chiamato a rispondere (vai a capire perché...). Sebbene io sia generalmente un fan del sarcasmo, questo modo di (ri)chiedere spiegazioni mi lascia perplesso.

Vediamo intanto qual è il fatto.
Al Test Finale del Senior, uno dei 4 dimostrativi "non noti" era in realtà il terzo problema del secondo giorno del TST del preIMO2013

Vero. Embé?

Direte voi che, anche se non è esplicitamente scritto da nessuna parte, si pensa che i problemi delle gare siano, in qualche senso, nuovi. Questo sembra far parte di un patto di reciproca fiducia tra concorrenti e organizzatori, permette di assumere che la gara dipenda dalla bravura e non da quanti vecchi test uno ha guardato (ma sono poi due cose davvero scollegate?) e appare come una garanzia di "equità", mettendo tutti i concorrenti davanti a quesiti a loro ignoti.

A-ri-vero. Siamo (sono?) pienamente d'accordo.

Quello che però mi suona male è

Se si ricicla un problema uscito appena due anni fa

Dopo quanto detto immediatamente sopra (se è il tradire tale implicito patto il motivo di scandalo), credete davvero che di proposito abbiamo dato un problema noto tra i nuovi? Quale crudele complotto stiamo ordendo che si giovi di 7 punti in più o in meno al TF di un Senior (poco più di 1,5 punti nel punteggio per una gara internazionale)? E' forse una massonica cospirazione che si dipana nell'arco di più anni? E' un sordido gioco di potere per impedire che giovani virgulti salgano alle agognate vette delle competizioni matematiche internazionali, lasciando saldi i veterani che ovviamente ci pagano fior di euro per tale trattamento di favore?

La verità è, come al solito, più semplice (e meno remunerativa per noi, purtroppo).

Ci siamo sbagliati. Il problema è apparso tra quelli "conservati per una gara", è stato controllato se fosse già stato usato in gare di livello opportuno e non ne è stata trovata traccia (le parole incriminate sono, qui, di livello opportuno ... non è venuto in mente di controllare i passati TST).

Ora, gli effetti pratici di un tale nostro errore sono, come dicevo, dell'ordine di 1,5 punti su un punteggio a piacere per le competizioni internazionali. Vedremo, a correzione ultimata se la correlazione età olimpica-soluzione del geometrico sia alta e, eventualmente, se ne terrà conto per le convocazioni al Winter, ma (personalmente) dubito che si riscontrerà un tale fenomeno (vorrebbe dire che voi vi *ricordate* quello che vi insegniamo agli stages ... ma figurati!).

Dal punto di vista del "contratto morale" di prima, capisco che sia percepibile come più grave. Però, tenete conto di questo: tali errori capitano anche in sedi più alte, come nelle gare internazionali; a volte vi viene posto rimedio all'ultimo con modifiche del testo (come a noi stessi è capitato di fare qualche volta negli anni passati e come è capitato per il 2° giorno alle scorse IMO, ad esempio), a volte invece il fattaccio si scopre solo a gara iniziata o addirittura conclusa.
Non sto dicendo questo per giustificarci con un "capita", ma per farvi notare quanto sia importante, per chi si vuole preparare ad un livello internazionale, studiare le vecchie gare (degli ultimi anni, almeno) e i set di problemi dei vecchi stages.

Ad esempio, l'esercizio 4 delle BMO di quest'anno, ad Atene era il fratello separato alla nascita dell'esercizio N4 dato alla mattina del preIMO 2014; solo ricordare questo (e applicarlo all'esercizio) sarebbe valso 5 punti su 10, sostanzialmente gratis.
Oppure, per dirne un altro, il geometrico delle EGMO in Lussemburgo (2013?) era la copia di due o tre problemi fatti nelle sessioni dei vari stages (preIMO, Winter): sussurrando "inversione+simmetria" vi avrebbe ceduto tutti i suoi segreti.
Per essere plateali, alle BMO in Turchia (mi pare), un esercizio si scoprì essere uscito pochi giorni prima (identico, stavolta) in una gara USA.

Casi simili, con vari livelli di "somiglianza" tra i problemi, capitano. E il fatto che capitino come blanda somiglianza tra problemi è il motivo dell'allenamento che vi proponiamo. Oltre una certa soglia, tale somiglianza diventa fastidiosa e viene percepita come ingiusta, ed è ovvio che sia così.

Non era nostra intenzione superare tale soglia e arrivare alla cima della scala (identico!). Ma, ripeto, se questo vi ha rovinato il post-gara, quanto meno sia istruttivo e vi insegni che parte dell'allenamento necessario è guardare (e fare! non leggere!) i problemi dei passati stages.



@Lasker: non si perdono punti per il caso del trapezio, si perdono punti se non si nota che la dimostrazione non funziona (more euclideo) nel caso del trapezio; poi si liquida tale caso con "e lì la tesi è banale per simmetria della figura".

Grazie per la spiegazione, sono d'accordo sul fatto che la differenza di punteggio che può derivarne è poca se si considera l'esito cumulativo di tutti gli stages (a meno di punteggi molto ravvicinati nelle posizioni più critiche probabilmente non cambierà nulla), e anche sul fatto che è normale che capitino problemi che si risolvono con idee o tecniche simili, ma mi sembrava strano che fosse uscito identico ad un problema recentemente proposto da voi stessi (per intenderci, chi ha proposto il BMO4 quest'anno non so chi sia ma credo che non potesse sapere nulla del PreIMO italiano). Essendo stato un errore ora non ci sono problemi, e si spera che possa sempre rimanere rispettato il "contratto morale".

Se posso dire la mia.
Non mi sembra un "sbaglio" così grave e ...... parafrasando una persona famosa : chi non ha (mai) sbagliato scagli la prima pietra!

Eheh, sono io il colpevole dello "sbaglio". In effetti è una storia piuttosto strana. Io ho un file con tutti i problemi che sono papabili per qualche gara, e in quel file c'era quel problema. Nel 2013 quello originariamente non era il TST6, ma poi è successo che il mattino stesso della gara qualcuno mi ha segnalato che il vero TST6 (un problema decisamente meno banale) era uscito una settimana prima come TST rumeno, e qualcuno dei nostri lo aveva visto e aveva pure postato da qualche parte su quel problema. Allora in fretta e furia lo cambiammo con questo. Se non sbaglio quel cambiamento lo abbiamo deciso al cellulare mentre io ero in qualche aeroporto, o qualcosa del genere. Conseguenza: non è stato tolto dal file.

Quest'anno, quando l'ho rivisto, ho provato un certo senso di deja-vu, per la serie "questo lo abbiamo già usato", e allora sono andato a rivedermi tutte le gare di un recente passato, limitandomi però alle gare "facili", visto che si tratta di un problema abbastanza semplice. Non trovandolo, ho detto "si vede che stavamo per darlo ma poi non lo abbiamo fatto; dai che questa è la volta buona". E così è finito nel TF.

Tutto sommato poco male: è strutturale che in ogni gara ci sia qualcuno che ha già visto qualcosa di simile. E visto come è finita con il BMO4 di quest'anno ...