OliForum Matematico

Sia $ ABC $ un triangolo rettangolo in $ A $. L'altezza condotta da $ A $ ha lunghezza $ 12 $.
La bisettrice condotta da $ A $ ha lunghezza $ 13 $.
Determinare la lunghezza della mediana condotta da $ A $

Hmm... sarò scemo ma a primo acchito azzarderei che un'idea sarebbe dire: l'altezza condotta da $A$ è la simmediana, dunque è la simmetrica della mediana rispetto alla bisettrice, dunque dai qualcosa si ricava, no?
Sennò facendo conti si risolve, credo

Alla simmediana non avevo pensato Vedrò se mi viene fuori qualcosa.
Un pò di conti li ho provati: ma il punto è proprio questo, non era venuto fuori nulla. Ho provato ad usare soprattutto la trigonometria, perché si suggeriva di usarla, ma non mi è venuto fuori nulla di buono

Con un po di passaggi abbastanza semplici dovresti arrivare a dire che
$ mediana=R=\frac{6}{\sin \beta \cdot \sin \gamma} $
Dove $ R $ è il raggio della circonferenza circoscritta e $ \beta, \gamma $ sono gli angoli in $ B, C $, ma da qua non riesco a continuare

Metto la mia soluzione P.S. Spero di non aver sbagliato i conti

Ho ottenuto la stessa soluzione con un po' di trigonometria e conti
Sia $ AB $ il cateto minore, $ K $ e $ M $ rispettivamente i piedi della bisettrice e della mediana e $\alpha $ l'angolo $\widehat{ABC} $ allora $ \widehat{BKA}=\alpha-135 $ che applicando la formula di addizione fa $ \dfrac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha) $ pero dalla definizione di seno applicata nel triangolo $ AHK $ sappiamo che$ \sin\alpha-135=\dfrac{\sqrt{2}}{2} (\sin \alpha + \cos \alpha)=\frac{AH}{AK}=\frac{12}{13}$. Uguagliando secondo e quarto membro e sostituendo $ \cos=\sqrt{1-\sin^{2}} $ si ottiene un'equazione di secondo grado che ha due soluzioni accettabili che corrispondono ai seni dei due angoli interni acuti ma per ipotesi essendo $ AB $ il cateto minore $ \sin\alpha $ deve essere il maggiore di questi valori cioè $\frac{17\sqrt{2}}{26]}$. Essendo $ ABM $ isoscele su $ AB \widehat{AMB}=180-2\alpha$ ma $ \sin 2\alpha=\sin 180-2\alpha $ quindi con la formula di duplicazione possiamo ottenere $\sin2\alpha=\frac{17*7}{169}$ quindi con la definizione di seno in $ HAM $ si ottiene $ AM=\frac{AH}{\sin2\alpha}=\frac{2028}{119} $

Mi sono appena accorto che se non si sostituisce il coseno in funzione del seno e si eleva al quadrato si ottiene $\sin^2+\cos^2 +2\sin\cos=1+2\sin\cos$ cioè l'angolo già duplicato