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trovare il numero degli insiemi contenenti 7 numeri interi che moltiplicati tra loro diano $ 2^n $

Distinti? Interi o interi positivi?

positivi, ma i numeri possono essere anche $ 1,1,1,1,1,1,2^n $

$ \binom{n+7-1}{7-1} $?

Hmm non so... se chiede le settuple ok, ma chiede gli insiemi... cioè senza posizione... cioè $\{3,4\}=\{4,3\}$... però in questo caso la vedo difficile trovare la soluzione... e poi $\{1,1,1,1,1,1,2^n\}$ non andrebbe bene perché non sarebbe un insieme di sette elementi. Credo che quindi vada bene, ma la domanda sia errata e debba essere "settuple" e non "insiemi"

Basterebbe fare un po' di casi, no? Guardando quanti "uni" ci sono. O sbaglio?

io intendevo tutti i numeri interi positivi, quindi va bene anche se alcuni si ripetono. l'importante è che non siano tutti e 7 uguali a altri 7 di un altra "settupla".

si potrebbe riformulare così: in quanti modi è possibile scrivere 2^n come prodotto di 7 numeri interi positivi.

Nell'insieme ci possono essere solo fattori 2, la cui somma degli esponenti dà n. Si calcolano le partizioni di n in 7 interi $ \geq 0 $ come $ {n +6\choose 6} $. In questo caso si tiene conto dell'ordine, ovviamente. Se ritenete che invece l'ordine non conti i calcoli si complicano un po': bisogna distinguere i casi in cui tutti i numeri sono diversi, in cui due sono uguali ecc, per poi trattarli come "anagrammi" in modo da ottenere le soluzioni senza contare l'ordine (e poi fare le opportune discussioni su n, ad esempio sulla divisibilità per 7 nel caso in cui siano tutti e 7 i numeri uguali). Per come si calcolino vi conviene guardare la discussione dell'esercizio precedente, quello delle "cinquine".

come si potrebbe fare per determinare il numero dei casi in cui i numeri siano tutti diversi?
una strategia potrebbe essere contare i casi in cui alcuni (o tutti) sono uguali e sottrarli al totale, ma sembra piuttosto lungo.

In teoria non penso ci sia un modo efficace e veloce. Il migliore è trovare i casi totali e usare il principio di inclusione esclusione togliendo e aggiungendo gli altri casi

No, in effetti non c'è ... esiste una successione per ricorrenza per ottenere le partizioni non ordinate di un intero come somma di interi positivi, ma non è particolarmente facile da utilizzare. Per un numero come 7, conviene farlo a mano.

Decisamente non è un calcolo semplice, ma se guardate l'esercizio precedente ottenete degli spunti. Usate qualche formula di Gauss per le somme di potenze e ce la fate (dopo una buona mezz'ora di calcoli almeno), oppure ci si accontenta del fatto che l'ordine conti.