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Prolunghiamo la retta $KL$ fino ad incontrare nuovamente la crf in $M \ne C$. Quindi $\angle PCL = \angle LBM = {\pi \over 2}$ , ma è anche vero che $\angle APB= \angle ACB = {\pi \over 2}$ , questo ci dice che $AP$ e $BM$ sono parallele e anche che il quadrilatero $APBM$ è un rettangolo, quindi vale anche che $AM$ e $PB$ sono parallele. Da queste cose ricaviamo che $[BMK]=[BMA]=[ABP]$ e che $[BML]=[BAL]$ , quindi che $[BKL]=[BMK]-[BML]=[ABP]-[BAL]=[APL]$.
Quindi il nostro rapporto diventa $${{[BKL]} \over {[ACP]}}={{[APL]} \over {[ACP]}}= {{{1 \over 2}AP \cdot PL} \over {{1 \over 2}AP \cdot CP \cdot \sin (\pi - \beta)}}={{PL} \over {CP \cdot \sin (\pi - \beta)}}$$
Ma ${{PL} \over {CP}}={1 \over {\cos \alpha}}$ , quindi ${{[BKL]} \over {[ACP]}}={1 \over {\sin (\pi - \beta) \cdot \cos \alpha}}$ , quindi dipende dagli angoli del tringolo $ABC$ e non da $P$. cvd