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Definisco $ \mathbb{A} $ un insieme che contiene $ n-uple $ non ordinate con $ 2015 \le n \le 1 $, di numeri naturali $ k $ tali che $ 2014 \le k \le 0 $, tutti distinti, nei quali è presente sempre lo $ 0 $.
Esiste una corrispondenza biunivoca tra queste $ n-uple $ e la funzione $ R(R(...(R(n)..)) $ che finisce con $ 0 $.
Presa una sequenza di mosse che portano a $ 0 $ posso associare ad ogni passaggio (ad esempio il $ j-esimo $) della sequenza un numero, che indica il numero che si è formato iterando $ R(n) $ $ j $ volte, e una $ n-upla $ indica tutti i numeri della sequenza di mosse.
Al contrario, presa una $ n-upla $ posso creare una sequenza di mosse tale per cui esiste una sequenza di mosse che raggiunge tutti i numeri della $ n-upla $
Ora in questo insieme $ \mathbb{A} $ sono contenute tutte le possibili combinazioni di mosse che permettono di arrivare a $ 0 $, per calcolare quante applicazioni permettono di arrivare, con maggiore probabilità, a $ 0 $, basta che conto quante sono le $ n-uple $ con $ n $ elementi $ \forall n \in [1,2015] $ e vedere per quale $ n $ ci sono più $ n-uple $.
Le$ j-uple $ con $ j $ elementi sono $ \frac{2015!}{(2015-j)!(j)!}- \frac{2014!}{(2014-j)!(j)!} $, ovvero il numero di $ j-uple $ non ordinate con $ 2015 $ elementi meno il numero di $ j-uple $ non ordinate con $ 2014 $ elementi, ovvero quelle senza lo $ 0 $.
Il problema è diventato calcolare il valore di $ j $ che massimizza $ \frac{2015!}{(2015-j)!(j)!}- \frac{2014!}{(2014-j)!(j)!}=\frac{(2014)!}{(2015-j)!(j-1)!} $, il che equivale a dimostrare quando $ (2015-j)!(j-1)! $ è minimo, ovvero quando $ 2015-j=j-1 \iff j=1008 $, che è appunto la tesi.

$\displaystyle M_n=\frac {1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} {(M_i+1)}=\frac {1}{n}(n+ \sum_{i=0}^{n-1} {M_i})=1+\frac {1}{n} \sum_{i=0}^{n-1} {M_i}$ (con $M_0=0$)

Consideriamo un caso generico in cui dobbiamo calcolare la media di passi per giungere a $0$ applicando $R$ a $n$. Al primo passo abbiamo una probabilità di $\frac {1}{n}$ di ottenere un particolare intero $n_1$, con $0\le n_1\le n-1$. Per ognuno di questi casi, abbiamo che la media del numero di passi che ancora manca è ovviamente la media di passi che mancherebbe dall'inizio se il numero $n_1$ fosse invece considerato l'iniziale; ma per arrivarci abbiamo fatto già un passo. A questo punto la prima forma della ricorsiva dovrebbe essere sufficientemente giustificata.

Se non sbaglio, si può proseguire con $M_n=\displaystyle \sum_{i=1}^{n}{\frac {1}{i}}$, per $n\neq 0$. La semplicità disarmante di questa espressione mi induce a pensare che DEBBA esserci un modo per chiuderla, ma apparentemente non sono abbastanza sveglio per trovarlo.