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Alberto e Barbara fanno il seguente gioco. Su due foglietti di carta, Barbara scrive due numeri a sua scelta, compresi tra 0 ed 1 e diversi tra loro. Alberto prende uno dei due foglietti (scelto casualmente) e guarda il numero. Adesso Alberto deve indovinare se questo e' il numero piu' grande o piu' piccolo.
Esiste una strategia che garantisca ad Alberto una probabilita' $ p > \frac{1}{2} $ di vittoria?

[di questo so la soluzione e secondo me e' sufficientemente elementare da essere postato qua]

Cioè? Lo fanno $n $ volte e vuoi $p (n) >1/2$?

Puoi vederlo come preferisci... Puoi dire che lo fanno una volta sola, e Alberto vuole una strategia che lo fa vincere con probabilità superiore al 50%.

Oppure lo fanno n volte e Alberto vuole una strategia che in media lo fa vincere più di n/2 volte.

La prima interpretazione e' la più semplice secondo me.

Mi sembra troppo stupido dire che il numero sul foglietto è $ \geq \frac{1}{2} $ allora dico che è maggiore di quello scritto sull'altro foglietto, mentre se è $ <\frac{1}{2} $ è minore di quello scritto sull'altro foglietto...

remat7 ha scritto:Mi sembra troppo stupido dire che il numero sul foglietto è $ \geq \frac{1}{2} $ allora dico che è maggiore di quello scritto sull'altro foglietto, mentre se è $ <\frac{1}{2} $ è minore di quello scritto sull'altro foglietto...

Ma se io barbaramente uso la strategia di scrivere sempre 0.7 su un foglietto e 0.8 sull'altro, la tua strategia ha solo il 50% di probabilità di vittoria.

(piccola precisazione al testo: Alberto prende un foglietto a caso. Se Barbara può scegliere quello da fargli aprire, allora non c'è una strategia >50%).

Ho aggiunto la precisazione di fph al testo, davo per scontato che il foglietto lo scegliesse Alberto ovviamente

Scrivo qua la soluzione (che mi ha sorpreso molto quando l'ho vista per la prima volta) perche' sono passati alcuni giorni e nessuno si e' fatto vivo .

Risposta: c'e' una strategia con cui Alberto (A) vince con probabilita' superiore a $ 0.5 $, indipendentemente da quel che fa Barbara (B). La strategia e' la seguente.
Diciamo che i numeri scelti da B sono $ a_1 < a_2 $. Diciamo che A estrae a caso il numero $ a $, che potrebbe essere $ a_1 $ oppure $ a_2 $. A decide di dichiarare che $ a $ e' il numero piu' grande con probabilita' $ a $, e che $ a $ e' il piu' piccolo con probabilita' $ 1-a $. Allora:

$ \displaystyle P(\text{A vince}) = P(a = a_1 \cap \text{A dichiara che il max e' } a_2) + P(a = a_2 \cap \text{A dichiara che il max e' } a_2) = \\ = \frac{1}{2} \times (1- a_1) + \frac{1}{2} \times a_2 = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} (a_2 - a_1) > \frac{1}{2} $