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Tanto la risolverete subito

$$f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ tale che
$$(x+y)(f(x)-f(y))=f(x^2)-f(y^2)$$

Se $f$ soddisfa, soddisfa anche $f(x) + c$, quindi WLOG $f(0) = 0$. Poniamo $y \mapsto 0$: $xf(x) = f(x^2)$, da cui $$(x + y)(f(x) - f(y)) = xf(x) - yf(y) \implies yf(x) - xf(y) = 0 \qquad \forall \: x, y \in \mathbb{R}$$
Ergo $$\frac{f(x)}{x} = \frac{f(y)}{y} \qquad \forall \: x, y \in \mathbb{R} \setminus \{0\}$$
Allora $f(x) = ax$ per un certo $a$ reale. Sostituendo nel testo si vede che ogni $a$ soddisfa, e swloggando concludiamo che tutte e sole le soluzioni sono quelle del tipo $f(x) = ax + c$.

La mia soluzione era: da $P(x,0) $ e $P(x,1)$, isolando $f(x^2)$, ottengo $$f(x)=(f(1)-f(0))x+f(0)$$ da cui $$f(x)=ax+b$$

@cip999 se non sbaglio non puoi definire il comportamento di quella funzione in 0 quindi ti rimane quel buco da definire

Ma all'inizio ho imposto $f(0) = 0$...

Già me l'ero scordato