Oh che bello un problema che viene semplice con le baricentriche.
Formule che do per scontate:
• coniugato isogonale di un punto
• retta per due punti
• intersezione di due rette
• conica generica
Scelgo $p$, $q$ ed $r$ tali che
\[P=[ap:bq:cr].\]
Quindi si avrà che:
\[P'=[a/p:b/q:c/r]=[aqr:brp:cpq]\]
E ora scelgo $s$, $t$ ed $u$ tali che
\[Q=[as:bt:cu].\]
E dunque:
\[Q'=[a/s:b/t:c/u]=[atu
cst].\]
Facendo la retta passante per $P$ e per $Q$ dovrebbe venire questa bellissima (be', parliamone...) formula:
\[(qu-rt)bcx+(rs-pu)cay+(pt-qs)abz=0.\]
Mentre facendo la retta passante per $P'$ e per $Q'$ viene questa:
\[(qu-rt)psbcx+(rs-pu)qtcay+(pt-qs)ruabz=0.\]
Non ancora soddisfatto, decido di intersecare queste due rette per trovare (o almeno credere di trovare) il punto $X$:
\[X=[a(pt-qs)(rs-pu)(qt-ru):b(qu-rt)(pt-qs)(ru-ps):c(rs-pu)(qu-rt)(ps-qt)].\]
Che bello! Ora faccio la retta passante per $P$ e per $Q'$...
\[(qt-ru)bcsx+(ru-ps)caty+(ps-qt)abuz=0.\]
...e quella passante per $P'$ e per $Q$!
\[(qt-ru)bcpx+(ru-ps)caqy+(ps-qt)abrz=0.\]
Ed ora intersechiamole per trovare $Y$!
\[Y=[a(ru-ps)(ps-qt)(tr-qu):b(ps-qt)(qt-ru)(pu-rs):c(qt-ru)(ru-ps)(sq-pt)].\]
Boh, ho trovato un punto a caso, che dite, ne facciamo il coniugato isogonale?
\[Y'=\left[\frac{a}{(ru-ps)(ps-qt)(tr-qu)}:\frac{b}{(ps-qt)(qt-tu)(pu-rs)}:\frac{c}{(qt-ru)(ru-ps)(sq-pt)}\right].\]
E per casualità trovo, semplificando i denominatori:
\[Y'=[a(qt-tu)(pu-rs)(sq-pt):b(ru-ps)(tr-qu)(sq-pt):c(ps-qt)(tr-qu)(pu-rs).\]
Ma questo è proprio $X$! Che combinazione! Ora prendo sei lettere a caso $d$, $e$, $f$, $g$, $h$ e $j$ e faccio una conica $\Gamma$:
\[\Gamma: dx^2+ey^2+fz^2+gxy+hyz+izx=0.\]
Ora faccio passare questa conica per $A$, per $B$ e per $C$: ciò comporta $d=e=f=0$. Ora facciamola passare per $P$:
\[abpqg+bcqrh+carpi=0.\]
Con $carpi$ intendo il prodotto di $c\cdot a\cdot r\cdot p\cdot i$, non l'
omonima città 
Bene, ora facciamo passare la bellissima conica per $Q$:
\[abstg+bctuh+causi=0.\]
Adesso che abbiamo queste due equazioni, possiamo trovare la terna omogenea $[g:h:i]$.
\[[g:h:i]=[cru(qs-pt):aps(rt-qu):bqt(pu-rs)].\]
Dunque la conica è:
\[\Gamma: cru(qs-pt)xy+aps(rt-qu)yz+bqt(pu-rs)zx=0.\]
Ora con molta felicità sostituisco a $[x:y:z]$ le coordinate di $Y$ e guardo cosa succede:
\[cru(qs-pt)a(ru-ps)(ps-qt)(tr-qu)b(ps-qt)(qt-ru)(pu-rs)+aps(rt-qu)b(ps-qt)(qt-ru)(pu-rs)c(qt-ru)(ru-ps)(sq-pt)+bqt(pu-rs)c(qt-ru)(ru-ps)(sq-pt)a(ru-ps)(ps-qt)(tr-qu).\]
Da questa roba così brutta da non starci neanche sulla pagina si raccolgono dei fattori comuni:
\[abc(tr-qu)(ru-ps)(qs-pt)(ps-qt)(qt-ru)(pu-rs)[ru(ps-qt)+ps(qt-ru)+qt(ru-ps)].\]
Ora nella parentesi quadra non posso fare altro che svolgere i prodotti e sperare nel meglio...
\[abc(tr-qu)(ru-ps)(qs-pt)(ps-qt)(qt-ru)(pu-rs)[rups-ruqt+qtps-rups+ruqt-qtps].\]
E incredibilmente, quando tutto pareva ormai perduto... questa cosa fa zero.
Presumo di non aver sbagliato i conti, dato che il risultato è quello desiderato. Se però ci sono dei passaggi loschi o devo dimostrare le quattro formule che ho dato per scontate, sono disposto a farlo
Che ve ne pare?
cst].\]
)