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suppongo (WLOG) $p(x)$ monico.
Scompongo $p(x)$ in fattori irriducibili, quindi di primo o secondo grado siccome siamo in $\mathbb{R}$.

I fattori di secondo grado sono positivi $\forall x \in \mathbb{R}$. (hanno coefficiente di testa=1 e se si azzerassero, allora sarebbero riducibili)
I fattori di primo grado sono invece uno per ogni radice reale del polinomio.
Osservo che le radici reali devono avere tutte molteplicità pari.

Se così non fosse, chiamate $\lambda_1<...<\lambda_k$ le radici, supponendo che $\lambda_i$ abbia molteplicità dispari $d$, nella fattorizzazione compare il fattore $(x-\lambda_i)^d$ che ha segni opposti per $x<\lambda_i$ e $x>\lambda_i$.
Basta prendere $\epsilon$ tale che $\lambda_{i-1}<\lambda_i - \epsilon $ e $\lambda_{i+1}>\lambda_i + \epsilon$, allora $p(\lambda_i + \epsilon)$ e $p(\lambda_i - \epsilon)$ siamo certi che hanno segni opposti (perchè tutti i fattori hanno lo stesso segno tranne $(x-\lambda_i)^d$.

Ora possiamo ricondurci al caso in cui $p(x)$ ha solo fattori di grado 2 irriducibili: per ogni fattore $(x-\lambda)^{2n}$ di $p(x)$ basta infatti porre che $q(x),r(x)$ abbiano come fattore $(x-\lambda)^n$.

Ogni fattore irriducibili di grado 2 si scrive come somma di quadrati:
$x^2+bx+c = \left(x+\frac b2\right)^2 + \left(\sqrt{c-\frac{b^2}4}\right)^2 $ (infatti $c-\frac{b^2}4\geq 0 $ perchè $\Delta<0$ siccome irriducibile)

Il prodotto di somme di 2 quadrati è una somma di 2 quadrati:
$(a^2+b^2)(c^2+d^2) = (ac + bd)^2 + (ad-bc)^2$ ($a,b,c,d$ intesi come polinomi)

Quindi (per induzione) $p(x)$ in quanto prodotto di somme di 2 quadrati si può scrivere come somma di 2 quadrati: $q(x)^2 + r(x)^2$