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Allora, sicuramente $4 \sqrt{f(x)f(y)}>0$, da cui $f(x+y)>f(x-y)$ per ogni $x,y$. Ma $x+y$ e $x-y$ possono assumere tutte le coppie di valori in $\mathbb{R}^{+}$, da cui vediamo facilmente che la funzione è strettamente crescente.
Detto questo possiamo (probabilmente) escludere una funzione che non sia continua in nessun punto, l'idea che ci sta dietro è che se io considero un intervallo finito (ad esempio fra 1 e 2) allora la funzione, essendo strettamente crescente, dovrebbe andare all'infinito più si avvicina verso l'estremo destro dell'intervallo (non è molto rigoroso come l'ho spiegato, ma penso che il ragionamento sia intendibile e valido) e questo non è possibile perché essendo crescente non esisterebbero valori oltre l'estremo destro dell'intervallo.
Consideriamo allora una funzione che sia continua in almeno un punto $x_0$. Posso scrivere allora $$\lim_{y \to 0^{+}} f(x_0 +y)-f(x_0 -y)=0$$ . Ma questo significa che esiste il limite $\lim_{y \to 0^{+}} 4 \sqrt{f(x_0)f(y)}=0$ da cui $\lim_{y \to 0^{+}} f(y)=0$. Ma questo implica che la funzione è continua nell'intorno positivo di 0, in quanto esiste il limite ed è finito.
Considero allora un $x$ generico e dico che $\lim_{y \to 0^{+}} 4 \sqrt{f(x)f(y)}=0$, da cui $\lim_{y \to 0^{+}} f(x+y)-f(x-y)=0$ , quindi f(x) è continua su tutto il suo dominio.
Quindi posso fare $\lim_{y \to x^{-}} f(x+y)-f(x-y)=\lim_{y \to x^{-}} 4 \sqrt{f(x)f(y)}$ che mi dà $f(2x)=4f(x)$. E questo è il primo punto.

Ora per il secondo punto ho provato a scrivere $f(x+y)-f(x-y)=\sqrt{f(2x)f(2y)}$ grazie al punto 1.
Ora siano $a=x+y$ e $b=x-y$, allora $f(a)-f(b)=\sqrt{f(a+b)f(a-b)}$. Adesso, sfruttando il fatto che è definita sui positivi chiamo $g(x)=\sqrt{f(x)}$ ottenendo $$(g(a)-g(b))(g(a)+g(b))=g(a+b)g(a-b)$$.

E qui mi sono bloccato L'idea che avevo era di provare a mostrare che $g(x)$ è una Cauchy, tuttavia non saprei bene come attaccarlo. Sono riuscito a dimostrare che questo è vero per tutti i razionali attraverso un'induzione dal punto 1, ma non di più. Inoltre, non so se serva a qualcosa, ma sono arrivato a concludere che la funzione $g(x)$ è biiettiva su $\mathbb{R}^{+}$ e strettamente crescente, ma non sono riuscito ad usare queste cose...
Spero che qualcuno riesca ad attaccarsi a quanto ho fatto!

Supponiamo quindi di aver già scoperto che $g(q)=\lambda q$, dove $\lambda = g(1)$ e $q\in\mathbb{Q}$.
Prendiamo un $x$ qualunque, e dimostriamo che $g(x)=\lambda x$.
Sia $\{x_n\}_{n>0}$ una successione di razionali tali che $\lim_{n\to\infty}x_n=x$.
Sappiamo che $f$ è continua ovunque, dunque anche $g$ è continua ovunque.


Ora dimostriamo il fulcro fondamentale del tutto, cioè che
$$
\lim_{n\to\infty}g(x_n)=g(x)
$$
In pratica, la tesi afferma che, comunque preso $\epsilon>0$, sappiamo trovare un intero positivo $c$ tale che $|g(x_n)-g(x)|<\epsilon\quad\forall n>c$.
Prendiamo dunque un $\epsilon>0$ a piacere. Siccome $g$ è continua, $\lim_{y\to x}g(y)=g(x)$, cioè esisterà $\delta>0$ tale che $|g(y)-g(x)|<\epsilon\quad\forall y\in(x-\delta,x+\delta)\quad(*)$.
Ora, sappiamo che $\lim_{n\to\infty}x_n=x$, quindi esisterà un intero positivo $k$ tale che $|x_n-x|<\delta\quad\forall n>k$, ovvero $x_n\in(x-\delta,x+\delta)\quad\forall n>k$.
Pertanto, prendendo $y\leftarrow x_n$ nella $(*)$, otteniamo che $|g(x_n)-g(x)|<\epsilon\quad\forall n>k$, che è esattamente la tesi (con $c\leftarrow k$).


Ora è sostanzialmente finito. Sappiamo che $g(x_n)=\lambda x_n$ per ogni $n$ (dato che $x_n$ è razionale), quindi
$$
g(x)=\lim_{n\to\infty}g(x_n)=\lim_{x\to\infty}\lambda x_n=\lambda\lim_{x\to\infty}x_n=\lambda x
$$
Il che ci fa concludere che $f(x)=\alpha x^2$, per qualche $\alpha\in\mathbb{R}^+$ (e si vede che funziona).

$
\begin{array}{l}
f(n \cdot x) = {n^2} \cdot f(x) \to f(n) = {n^2} \cdot f(1)\\
\left. \begin{array}{l}
f(a) = {a^2} \cdot f(1)\\
f(a) = f\left( {b \cdot \frac{a}{b}} \right) = {b^2} \cdot f\left( {\frac{a}{b}} \right)
\end{array} \right\} \to f\left( {\frac{a}{b}} \right) = {\left( {\frac{a}{b}} \right)^2} \cdot f(1)
\end{array}
$

Le discontinuità di $f$ corrispondono a dei "buchi" nella sua immagine. Ogni buco contiene un numero razionale. Quanti numeri razionali ci sono?