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Siano dati $n$ primi distinti $p_{i}$ maggiori di $3$; detto $a=\prod_{i=1}^{n}p_{i}$, si dimostri che $2^{a(p_{n+1}-1)}-2^{a(p_{n+1}-2)}+...+2^{2a}-2^{a}+1$ non è una potenza di un primo.

Datemi una mano con questo problema... Mi ci sto spremendo le meningi da oggi pomeriggio senza venirne a capo

Chi è $p_{n+1}$?

Penso il primo successivo all'ultimo usato per calcolare $a$

Esattamente

Io un'idea ce l'avrei, e vale se consideriamo $p_{n+1}$ un qualunque primo successivo.

Scriviamo innanzi tutto quella tua "cosa" come $${{2^{a p_{n+1}}+1} \over {2^a+1}} =q^k$$.
Si nota facilmente che $$2^{p_{n+1}}+1 \mid {{2^{a p_{n+1}}+1} \over {2^a+1}} =q^k$$
Ma quindi $2^{p_{n+1}}+1=q^{\alpha}$, tuttavia per il lemma del guadagno di un primo $2^{p_{n+1}}+1$ ha almeno due diversi fattori primi a meno che $p_{n+1}=3$ che è impossibile per ipotesi.

Cosa diavolo è il lemma del guadagno?

Potresti cogliere l'occasione per aprire un bel topic su questo lemma nel glossario; comunque quello che ho scritto è sbagliato, non è vero che $$2^{p_{n+1}}+1 \mid {{2^{a p_{n+1}}+1} \over {2^a+1}} $$ Ora pubblico la soluzione giusta

In realtà questa era la mia prima soluzione, ma poi avevo provato a semplificarla, sbagliando
Anche qui possiamo considerare un qualunque $p_{n+1}$ successivo.
Allora, possiamo scrivere che $${{2^{a p_{n+1}}+1} \over {2^a+1}} =\prod_{d \mid a} \Phi_{2 p_{n+1} d} (2)=q^k$$
Sia perciò $x$ un primo che divide $a$, allora vale che $$\Phi_{2 p_{n+1}} (2) =q^{\alpha} \qquad , \qquad \Phi_{2 p_{n+1} x} (2)=q^{\beta}$$
Tuttavia $$\Phi_{2 p_{n+1}} (2) = {{2^{p_{n+1}}+1} \over 3} \qquad , \qquad \Phi_{2 p_{n+1} x} (2)={{3(2^{p_{n+1}x}+1)} \over {(2^x +1)(2^{p_{n+1}}+1)}}$$
Quindi Posso fare $$\Phi_{2 p_{n+1}} (2) \cdot \Phi_{2 p_{n+1} x} (2) ={{2^{p_{n+1} x}+1} \over {2^x+1}}=q^{\alpha + \beta}$$
Ma per il lemma del guadagno di un primo quest'ultima cosa contiene almeno un fattore primo che non è contenuto in ${2^x+1} \over 3$, quindi non possono essere entrambi potenze di $q$.

Probabilmente c'era una via più diretta per farlo ma avevo paura di perdermi da qualche parte quindi ho fatto il giro lungo (sperando che almeno 'sta volta sia giusto).