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Nicola (che è un mio amico) ha $m$ biglie, alcune colorate e altre no. Sia $n\le m$. Ci sono $a_1$ biglie colorate con il colore $c_1$, $a_2$ biglie colorate con il colore $c_2$ e così via fino ad $a_n$ biglie colorate con il colore $c_n$, di modo che $a_1+a_2+\ldots+a_n\le m$. Le biglie rimanenti (anche eventualmente nessuna) sono incolori. Nicola mette le sue $m$ biglie in un sacchetto e poi ne estrae $p$ con $n\le p\le m$.

(i) Calcolare la probabilità che nelle $p$ biglie estratte ce ne sia almeno una del colore $c_i$ per ogni $1\le i\le n$.

(ii) L'eventualità del caso (i) non accade. Nicola dunque decide di fare questo algoritmo: considera le $p$ biglie estratte. Tra queste considera quelle colorate con il colore $c_i$ con $1\le i\le n$. Se non ce n'è nessuna, non fa niente. Se ce n'è almeno una, prende tutte le biglie di quel colore tranne una e le distrugge. Nicola fa questo processo per ogni $i$ tra $1$ ed $n$. Poi distrugge tutte le eventuali biglie incolori, sempre tra quelle estratte. Nicola ora ha distrutto $d$ biglie, con $p-n+1\le d\le p$ (dato che se $d$ fosse minore di $p-n$, rimarrebbero $n$ biglie di colori diversi, dunque sarebbe soddisfatta l'ipotesi del caso (i), che avevamo esclusa). Ora Nicola estrae altre $d$ biglie e le mette insieme alle $p-d$ estratte prima e non distrutte. Calcolare la probabilità che in queste $d+(p-d)$ biglie ce ne sia almeno una del colore $c_i$ per ogni $1\le i\le n$.

Sono disponibile a chiarimenti e delucidazioni, perché il problema non è facile da formalizzare (almeno secondo me). Me l'ha posto il mio amico Nicola, appunto, e da un po' ci stavamo pensando e siamo giunti ad un'ipotesi sulla soluzione.

i) Per il secondo punto: si chiede la probabilità che per un'estrazione del "primo" tipo, la seconda contenga tutti i colori o la probabilità che facendo questa sequenza di mosse dall'inizio si ottengano tutti i colori?

Grazie per il primo punto

Per il secondo, si intende che Nicola pesca $p$ biglie, non succede ciò che voleva nel caso (i), toglie le biglie che non gli servono e poi ne estrae tante quante ne aveva distrutte. Poi considera le biglie estratte e non distrutte (che sono le $p-d$ di prima e le $d$ nuove) e spera che queste $p$ soddisfino la richiesta del punto (i).